Appunti sulle similitudini con grafici e formule

SIMILITUDINE TRA FIGURE PIANE 1 LA CORRISPONDENZA DI TALETE Un importante esempio di classi di grandezze direttamente proporzionali è costituito dalle classi di segmenti staccati su due trasversali da un fascio di rette parallele. Sia a una retta del piano (detta generatrice). Si considerino la famiglia di tutte le rette parallele ad a (che chiameremo fascio di rette) e si tagli, infine, il fascio di rette con due trasversali r e s (non parallele ad a). Ogni coppia di rette del fascio stacca un segmento su r ed uno su s che consideriamo fra loro corrispondenti. La corrispondenza fra la classe dei segmenti staccati dal fascio di rette parallele sulla r e quella dei segmenti staccati sulla s viene denominata corrispondenza di Talete. In base al piccolo teorema di Talete, tale corrispondenza associa: a segmenti tra loro congruenti su r, segmenti tra loro congruenti su s; fa corrispondere alla somma di due segmenti su r, la somma dei segmenti corrispondenti su s. Si può dimostrare, perciò, che vale il seguente teorema. TEOREMA DI TALETE Se un fascio di rette parallele è intersecato da due trasversali, i segmenti (compresi fra rette parallele) che si formano sulla prima trasversale sono direttamente proporzionali ai segmenti (compresi fra le stesse rette parallele) che si formano sulla seconda trasversale. COROLLARIO Una retta parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due lati, o i loro prolungamenti, in segmenti proporzionali. DIMOSTRAZIONE Tracciamo per A la retta r parallela a DE e BC. Le rette DE, BC e r costituiscono un fascio di rette parallele tagliate dalle trasversali AB e AC. Per il teorema di Talete possiamo scrivere la proporzione AD : DB = AE : EC Si può anche dimostrare l'enunciato inverso (dimostrazione omessa). TEOREMA Una retta che determina su due lati di un triangolo (o sui loro prolungamenti) segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato. In base al teorema di Talete si può dimostrare, infine il seguente importante teorema. TEOREMA DELLA BISETTRICE In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti direttamente proporzionali agli altri due lati. DIMOSTRAZIONE Nel triangolo DBC la retta AE, essendo parallela al lato DC, divide gli altri due lati in parti direttamente proporzionali: BE : CE = AB : DA Gli angoli e sono alterni interni delle rette parallele AE e CD, tagliate dalla trasversale AC sono congruenti ( ). Gli angoli e sono corrispondenti delle stesse parallele, caso a Indichiamo con l'angolo CAE e con l'angolo BAE . Disegniamo la retta per C parallela alla bisettrice AE. tagliate dalla trasversale DB sono congruenti ( . Poiché per ipotesi, risulta (per la proprietà transitiva). Quindi il triangolo ADC è isoscele sulla base DC e pertanto DA AC. Nella proporzione BE : CE = AB : DA possiamo, quindi, sostituire DA con AC, ottenendo: BE : CE = AB : AC ossia la bisettrice divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. 2 TRIANGOLI SIMILI DEF: caso b Prolunghi Continua »