archimede 2005 test

PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA SCUOLA NORMALE SUPERIORE 6) Quanti sono i numeri naturali n tali che 2n divide n + 30 (A) uno, (B) due, (C) tre, (D) quattro, (E) pi di quattro. u 7) Fabio ritrova un suo vecchio lucchetto a combinazione; il lucchetto chiuso e per e aprirlo bisogna allineare nell'ordine giusto tre cifre, ciascuna delle quali pu variare o da 0 a 9. Fabio non ricorda la combinazione corretta, ma sicuro che la somma delle e tre cifre sia 10. Quanti tentativi dovr fare, al massimo, per trovare la combinazione a corretta (A) 61, (B) 63, (C) 65, (D) 67, (E) 69. I G iochi di A rchim ede - G ara Triennio 23 novembre 2005 1) La prova consiste di 25 problemi; ogni domanda seguita da cinque risposte indicate e con le lettere A, B, C, D, E. 2) Una sola di queste risposte corretta, le altre 4 sono errate. Ogni risposta corretta e 8) Il triangolo ABC rettangolo ed i cateti AB e AC misurano e C vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza 3 m e 4 m rispettivamente. Siano B e C punti apparterisposta vale 1 punto. nenti ai lati AB e AC rispettivamente, tali che la retta 3) Per ciascuno dei problemi devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che contenente il segmento B C sia parallela a quella conteC ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o nente il segmento BC e distante 1 m da essa (vedi figura). correzioni sulla griglia. Non consentito l'uso di alcun tipo di calcolae Calcolare l'area del triangolo AB C . trice. 65 2 7 49 2 m , (B) 2 m2 , (C) m , (D) m2 , (A) 4) Il tempo totale che hai a disposizione per svolgere la prova un'ora e mezza. Buon e 24 24 2 lavoro e buon divertimento. (E) nessuna delle precedenti. A B B Nome Classe Cognome 9) Quanti sono i numeri interi n tali che n - 52 e n + 53 siano due quadrati perfetti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 8. 1) Qual il valore massimo che pu assumere il numero a(b + c) - b(a + c) quando a, e o b e c sono numeri interi distinti tra loro, maggiori o uguali a 1 e minori o uguali a 10 (A) 80, (B) 81, (C) 84 (D) 90, (E) 100. 10) a e b sono due numeri reali tali che 2a4 - 4ab + b2 + 2 = 0 . 2) Quanti sono i numeri interi positivi n tali che n3 +2n2 +n sia un quadrato perfetto (A) Nessuno, (B) almeno 1, ma non pi di 4, (C) almeno 5, ma non pi di 9, u u (D) almeno 10 ma non pi di 20, (E) nessuna delle precedenti. u 11) Nel quadrato in figura sono stati disegnati i quattro archi di circonferenza ciascuno avente centro in uno 3) Per quante coppie ordinate (a, b) di numeri interi accade che il loro prodotto sia dei vertici del quadrato e raggio pari al lato del quauguale alla loro somma drato, che misura 10 m. Quanto vale la distanza tra (A) Nessuna, (B) una, (C) due, (D) quattro, (E) pi di quattro. u A e B (A) 3(6 - 1) m, (B) 5 m, (C) 5( 6 - 2) m, 4) Quanti sono i numeri di 4 cifre la cui cifra iniziale 1 e che hanno alm Continua »