Teoremi e Dimostrazioni analisi 1

PRINCIPIO D'INDUZIONE: sia P(n) una proprietà dipendente dal num CALCOLO COMBINATORIO: DEFINIZIONE INGENUA DI FUNZIONE (O APPLICAZIONE) Siano A e B due insiemi. Si chiamo funzione definita su A a valori in B e si indica con f:A?B x ? f(x) una legge di natura qualunque che ad ogni elemento x ? A associa uno ed un solo elemento f(x) ? B. FUNZIONE INIETTIVA: una funzione f: A ?B si dice iniettiva se x1?x2? f(x1)?f(x2) DEFINIZIONE DI IMMAGINE DI UN SOTTOINSIEME TRAMITE UNA FUNZIONE: sia f: A ? B una funzione. Se A1?A si dice immagine di A1 tramite f (e si indica con f(A1) ) il sottoinsieme B così definito f(A1)= ?y?B:? x ? A1: f(x)=y ? FUNZIONE SURIETTIVA: se ? y ? B ? x ? A : f (x)=y FUNZIONE BIETTIVA (O BIUNIVOCA): se una funzione è sia iniettiva che suriettiva. ESTREMO SUPERIORE (INFERIORE): MAGGIORANTE (MINORANTE) di A ? R. Se esiste ??? tale che a?? ? a ? A; si dice che ? è un maggiorante di A.INSIEME DI A ? r LIMITATO SUPERIORMENTE: se ammette almeno un maggiorante, LIMITATO INFERIORMENTE: se ammette almeno un minorante LIMITATO: se è limitato sia superiormente che inferiormente DEFINIZIONE DI MASSIMO (MINIMO) DI A ? R: se esiste un elemento ??A tale che a?? ? a ? A. OSSERVAZIONI: un insieme finito di numeri reali ha sempre sia massimo che minimo; ciò non è sempre vero se l'insieme è infinito, infatti può avere massimi ma non minimi [ A= {1/n: n ? N}] e viceversa [B= {(1-(1/n): n ? N}, il numero 0 non ha né massimo né minimo!!! TEOREMA: sia B ? R superiormente limitato. Allora l'insieme B*= [1, +?) dei maggioranti di B ha minimo. Analogamente se A è inferiormente limitato l'insieme A*= (-?, 0] dei minoranti di A ha massimo. ESTREMO SUPERIORE (INFERIORE): sia B ? R un insieme superiormente limitato. Si definisce estremo superiore di B il minimo maggiorante di B, cioè supB= min B* (vero l'inverso con A). OSSERVAZIONI: il max si B coincide con l'estremo superiore di B. Ad esempio se A= {1/n: n ? N} inf=A=0 mentre il minimo di A non esiste e supA=maxA=1. Viceversa se B= {(1-(1/n): n ? N} si ha infB=minB=0 e sup B=1 mentre il massimo di B non esiste. PROPRIETÀ CARATTERISTICHE: sia B ? R superiormente (inferiormente) limitato. Se ?=supB valgono le seguenti proprietà: i) b?? ?b?B (? è un maggiorante di B) ii)??>0 ? b?B: ?-?0 ? a ? A: a