Il teorema della formula di Taylor

Teorema della formula di Taylor Sia (x): X con X ed x(0) X, (x) derivabile n volte in x(0). Se si vuole approssimare una funzione (x) in prossimità di x(0) e X mediante un polinomio di grado n, si perviene a determinare il polinomio di Taylor. Che si può considerare il polinomio della funzione data in x0. La differenza Rn = (x)- Pn(x) rappresenta l'errore (o resto ) che si commette sostituendo, Pn(x)al posto di (xpn(x). FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI PEANO ( in forma sintetica) DIMOSTRAZIONE CON ESEMPI Sia (x) = ex Una funzione derivabile quante vuolte si vuole; si potrà scegliere k, cioè l'ordine della formula come si vuole. Inoltre ex è definita in tutto l'asse reale, quindi si può scegliere x(0), il punto iniziale, in maniera del tutto libera. Tenuto conto che la derivata prima, seconda ecc. della funzione ex coincidono con ex si ha, qualunque sia x(0), ex = ex0 + e x0 (x- x0 ) + e x0 (x- x0 )2 + + 1k-1)! e (x- x0 )k-1+ 1/k! e (x- x0 )k se poi si sceglie x0 come l'unico punto nel quale sia facile calcolare il valore di e x0 , cioè x0 = 0 si ha e0 = 1 e quindi si ottiene: ex= 1 + x + x2 + . + 1k-1)! x(k-1) + 1/m! e*xk Il resto k-esimo è Rk = 1/k! e*xk E il polinomio di Taylor di ordine (k-1)- esimo è 1 + x + 1/2x2 + . k-1)! x(k-1) Valutiamo ora l'errore che si commetterebbe, per esempio per k = 5, qualora is approssimasse e1, ioè il numero e, con il valore per x = 1 del solo polinomio di Taylor, trascurando il resto R5: e 1 + 1 + + 1/3! + ! = 65/24 in tal caso non c'è uguaglianza, e non ci può essere in quanto manca il resto R5 : tuttavia se stimassimo l'entità di tale resto, conosceremo l'entità dell'errore commesso trascurandolo. Il polinomio di Taylor ci aiuta nel calcolo di limiti particolarmente difficili. Con esso possiamo semplificare tutte le funzioni presenti, all'interno del limite, con polinomi e poi andare semplicemente a risolvere polinomi. Prima di far vedere come si procede vi do alcuni sviluppi notevoli: Ora vi faccio qualche esempio di come si procede con le risoluzioni di limiti: Continua »