Analisi Numerica: dispense di Ingegneria

Un numero reale scritto nella forma m N q ad esempio 12.43 0.1243 102 0.00578 0.578 10-2 . . . in forma esponenziale normalizzata. e e - m - la mantissa normalizzata ( prima cifra diversa da zero) -N la base del sistema di numerazione e Def. Dato x = 0.c1c2ct-1ctct+1. 10q arrotondare al t-esimo decimale: trascurare tutte le cifre della mantissa dalla (t + 1esima in poi, aumentando la t-esima cifra di una unit se la prima cifra trascurata maggiore o a e uguale di 5, e senza fare niente in caso contrario. Errore di arrotondamento sempre 0.5 10-t. x = 0.734432 x = 0.734, e = 0.432 10-3. 1 Def. Dato x = 0.c1c2ct-1ctct+1. 10q troncare al t-esimo decimale: trascurare tutte le cifre decimali dalla (t + 1esima in poi. Errore di troncamentosempre 10-t. x = 0.213086 101 x1 = 0.2130 101 e1 = - x1 = 0.86 10-3 x troncandolo al quarto decimale. Invece arrotondando al quarto decimale si ha x = 0.213086 101 x2 = 0.2131 101 e2 = - x2 = 0.14 10-3 x 2 x1 = 0.734432 Arrotondando x2 = 4.31357 x1 = 0.734432 x1 = 0.734 e1 = 0.432 10-3 x2 = 4.31357 x2 = 0.43136 101 e2 = 0.3 10-4 Troncando x1 = 0.734432 x1 = 0.734 1 = e1 e x2 = 4.31357 x2 = 0.43135 101 2 = 0.7 10-4 e 3 Se la prima cifra trascurata inferiore a 5 si ottiene lo stesso e valore e si commette lo stesso errore in entrambi i casi. Se invece la prima cifra trascurata maggiore o uguale di 5 are rotondando si ha un errore inferiore. x ha t decimali esatti se affetto da un errore e x 0.5 10-t x r cifre signicative se scritto in forma esponenziale ha una mantissa normalizzata di r cifre. x = 1.130 0.5 10-3 x = 5.830 = 0.5830 101 x = 0.00147 = 0.147 10-2 x = 0.001234 = 0.1234 10-2 x = 0.001234 0.4 10-5 ha ha ha ha ha tre decimali esatti; quattro cifre significative ; 3 cifre significative ; 4 cifre significative ; 5 decimali esatti. 4 Esempio x = 1.1234567 0.3 10-2 ha solo due cifre decimali sono esatte. u E pi ragionevole arrotondare al terzo decimale x = 1.123 0.35 10-2 x = 0.0004567 0.0005 x = 24.2376 0.1 cio e 24.1376 x 24.3376 ha poco senso conservare 4 decimali, visto che nessuno core retto. Si pu arrotondare al primo decimale con un errore o x = 0.0376 0.04 e scrivere x = 24.2 0.14. 5 Propagazione degli errori Se i dati di cui si dispone sono affetti da errore, quando si eseguono operazioni l'errore si propaga. Proposizione Se x1 = x1 + x1, x2 = x2 + x2 l'errore assoluto della somma inferiore o uguale alla somma e degli errori assoluti degli addendi (x1 + x2) x1 + x2 l'errore relativo del prodotto e del quoziente inferiore o e uguale alla somma degli errori relativi dei fattori (x1x2) x1 x2 + x1x2 x1 x2 x1 x2 (x1/x2) + x1/x2 x1 x2 6 Dim. Per la somma si ha: (x1 + x2) = (x1 + x2) - (1 + x2) = x1 - x1 + x2 - x2 x x1 - x1 + x2 - x2. Per il prodotto si ha (x1x2) = x1x2 - x1x2 = x1x2 - (x1 + x1x2 + x2) = = x2x1 + x1x2 + x1.x2. Se x1 e x2 sono piccoli il loro prodotto ancora pi piccolo e u e quindi, in prima approssimazione, trascurabile. x1x2 - x1x2 x1x2 - 1x2 x x2 x1 + . x1x2 x1x2 x2 x1 7 Nel quoziente si ha x1 x1 Continua »