Equazioni algebriche: appunti di analisi numerica

Equazioni algebriche Sono equazioni del tipo P (x) = 0 , con P (x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an a0 = 0, ai C. polinomio di grado n 1 a coefficienti reali o complessi. Per il Teorema fondamentale dell'algebra l'equazione ha esattamente n radici, reali o complesse, contate con la loro molteplicit. a Se gli ai sono reali, P (a + ib) = 0 implica P (a - ib) = 0. P () = 0 P (x) divisibile per (x - ), cio se un polinomio e e Q(x), di grado n - 1, tale che P (x) = (x - )Q(x). P(x) si pu sempre scrivere nella forma o P (x) = a0 (x - 1)k1 . . . (x - s)ks , i=1s ki = n dove i la i-esima radice e ki la sua molteplicit. e e a 1 Se due polinomi di grado n, R(x)) e S(x) assumono lo stesso valore in m n punti distinti, allora R(x) = S(x) per ogni x reale. Per n = 1 ed n = 2 esistono formule che forniscono le radici del polinomio in funzione dei suoi coefficienti. Per n = 4, con alcuni artifici, si pu ricondurre il problema al calcolo delle radici di un opportuno o polinomio biquadratico di secondo grado e quindi usare le formule note. Negli altri casi non esistono formule esplicite per il calcolo delle radici di un polinomio a partire dai suoi coefficienti. Se si conosce un intervallo contenente una sola radice si pu determio narla numericamente, ad esempio con il metodo di Newton-Raphson. 2 Localizzazione delle radici Ogni radice del polinomio P (x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an soddisfa la diseguaglianza 1 z 1 + 1+ dove, supponendo an = 0, e sono ai = maxi=1n a0 () ai = maxi=0n-1 . an N.B. z = a + ib, z = a2 + b2 La regione () la corona circolare determinata dai due cerchi che e 1 hanno centro nell'origine e raggio, rispettivamente, 1+ e 1 + . 3 Dim. Se x una radice di P(x) si ha e P (x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an = 0 da cui si ricava -xn = a1 xn-1 + . . . n-1 x + an a0 a0 a0 n n xn-1 + . . . + x + 1 = x - 1 , x a x - 1 Se x 1, xn 1 e si pu scrivere o xn xn x - 1 x 1 + . x - 1 La disuguaglianza vale anche per x 1 dato che 0. n n-1 + . . . + x + 1 = x - 1 x x - 1 somma dei primi n termini della serie geometrica di ragione x 4 Se x 1 , dividendo P (x) = 0 per anxn si ottiene 1 a1 1 an-1 1 n-1 a0 - n= + + . + . x an an x an x Passando ai valori assoluti e ricordando la definizione di si ha 1 1 1 + . . . + n-1 1+ xn x x In questo caso 1 1 quindi 1 x x n 1 1 -1 = -1 / xn x 1 e si pu scrivere o 1n 1 1 / -1 . x xn x 1 Dato che 0, da 1 - 1 segue x 1+ . x 5 La regione del piano di Gauss che contiene le radici reali del polinomio 1 l'intersezione fra la corona circolare 1+ z 1 + e l'asse reale, e cio l'unione dei due intervalli e 1 1 1 - , - ] [ , 1 + ]. 1+ 1+ 6 Esempio Dato il polinomio P (x) = 2x4 - 4x2 + 6 si ha 6 6 2 4 = max 4 , 2 = 2 = 3 = max 6 , 4 = 6 = 0.6. 2 6 Quindi la regione del piano di Gauss contenente le radici e 0.6 z 4. Le radici sono z1,2,3,4 = 1.1688 0.6050i. Una volta individuato un intervallo contenente una sola radice reale di P (x) si pu procedere a calcolarla con uno dei metodi visti, ad o esempio quello di Newton-Raphson o il me Continua »