Ingegneria

In questa lezione cerchiamo di raccogliere (nel modo piu veloce ed indolore...) alcuni dei risultati piu importanti ed utili della teoria dell'integrazione di Le- besgue. Poiche non abbiamo ne il tempo, ne la pazienza per sviluppare e giusticare tutti i punti della teoria, seguiremo una via, diciamo cos, descrit- tivo/assiomatica, accontentandoci di precisare con cura solo alcune denizioni e i corrispondenti enunciati. A prima vista, la nozione di integrale R u(x) dx secondo Cauchy-Riemann sviluppata nei precedenti corsi di Analisi Matematica sembra essere gia su- ciente, poiche si applica ad una classe abbastanza ampia di funzioni e riesce a trattare quasi tuttgli esempi che solitamente si incontrano nei primi anni di studio. D'altra parte, questa nozione di integrabilita presenta almeno tre inconvenienti: { L'insieme di denizione di u deve essere limitato. { u deve essere anch'essa limitata. { La proprieta di essere misurabile non e stabile per la convergenza puntua- le: in altre parole, puo accadere che una successione di funzioni uniforme- mente limitate converga puntualmente ad una funzione limitata ma non misurabile, i cui punti di discontinuita, cioe, siano \troppo numerosi" per poter parlare di integrale. Queste dicolta sono aggirate dalla nuova nozione di integrabilita che andia- mo ad esporre. I punti cardine della nuova teoria saranno 1. una denizione piu generale di insieme di misura nulla; 2. la possibilita di integrare \praticamente" ogni funzione positiva su ogni insieme, limitato o no: per questo si ammette anche +1 tra i possibili valori che puo assumere l'integrale; 3. la possibilita di scambiare l'ordine di serie e integrali per le fun- zioni positive; 4. l'integrabilita delle funzioni di segno qualunque si riconduce all'integra- bilita del modulo della funzione; 5. nuovi teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Denizione 1.1 (Funzioni positive, reali e complesse) Diremo che una fun- zione u denita in un insieme E  RN e positiva se il suo codominio e l'intervallo esteso [0;+1]: ammettiamo pertanto che vi siano punti (anche tutti!) di E in cui la funzione vale +1. u sara invece reale (risp. complessa) se il suo codominio e R (risp. C): in tal caso non ammettiamo valori inniti. Osserviamo che le funzioni reali sono un caso particolare di funzioni complesse. Convenzione. L'algebra in [0;+1]. In [0;+1] non vi sono dicolta a denire la somma e la relazione d'ordine, come ciascuno puo facilmente immaginare. Piu arbitrario il prodotto 0
(+1): quando tratteremo di integrali e di funzioni positive, converremo che 0
(+1) := 0: (1.1) Questa denizione, che puo sembrare arbitraria ed in contrasto con tutte le cautele imparate negli anni precedenti, non e invece cos bizzarra, e nasce dall'esigenza di integrare funzioni che valgono +1 su un insieme di misura nulla, o funzioni che valgono 0 su un insieme di misura +1 (come tutto R, pe Continua »