Analisi matematica 2

Introduzione storica: i matematici del seicento e del settecento si dedicarono con passione ai calcoli con processi infiniti. Tuttavia, poich´e ancora non era stato elaborato con precisione il concetto di limite, spesso ottennero risultati discutibili, con giustificazioni fantasiose e talvolta risibili. Tutto questo si pu`o riconoscere nella trattazione delle serie. Un’attenzione particolare ebbe all’inizio del settecento la sommazione della serie infinita 1 − 1 + 1 − 1 + . . . Per risolvere il problema della somma di questa serie, il monaco camaldolese Guido Grandi, nel 1703, fece ricorso alla considerazione della serie, che si dice geometrica, 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . . , (1.1) e che ha come somma 1 1 − x (ma, come vedremo, se e solo se |x| < 1). Sostituendo x = −1, egli ne ricav`o l’uguaglianza 1 − 1 + 1 − 1 + . . . = 1 2. (1.2) Sette anni pi`u tardi in uno scritto dedicato al “Deo veritatis, luminum patri, scientiarum domino, geometriae praesidio” (cio`e al “Dio della verit`a, padre della luce, signore delle scienze, presidio della geometria”), egli torn`o sull’argomento, proponendo una giustificazione giuridica della conclusione, con l’esempio di due fratelli che avevano ottenuto in eredit`a, con la proibizione. di venderla, una preziosissima pietra. Decisero di custodirla un anno nel museo dell’uno, un anno in quello dell’altro. Concludeva Grandi che, mediamente ognuno dei fratelli aveva il possesso di met`a della pietra. Partendo dalla formula precedente e associando i temini a due a due, Grandi ottenne poi la seguente formula 0 + 0 + 0 + 0 + . . . = 1 2, alla quale affid`o il compito di dare la spiegazione dell’origine del mondo. Le deduzioni di Grandi diedero luogo ad una vivace polemica scientifica nella quale intervennero anche Leibniz, Wolff e Varignon. Nel 1713 Leibniz espose il suo rifiuto ad accettare la giustificazione giuridica di Grandi, ma afferm`o che il risultato era assolutamente certo, anche se lo giustific`o in termini probabilistici. Se la somma dei termini della serie 1−1+1−1+. . . si arresta ad un termine di posto pari, il risultato `e 0, se si arresta ad un termine di posto dispari si ottiene 1. Il calcolo delle probabilit`a insegna a prendere come valore di una grandezza che pu`o assumere due valori diversi, ma equiprobabili, la media degli stessi. Ora ci sono tanti numeri pari quanti numeri dispari. Perci`o il valore della somma doveva essere 0+1 2 = 1 2 . Alcuni anni pi`u tardi (1745) Eulero, appoggiandosi all’autorit`a di Leibniz, e in accordo con i contemporanei Goldbach e Daniel Bernoulli, si disse convinto che ogni serie infinita dovesse avere una somma ben determinata e che il suo valore dovesse essere quello dell’espressione analitica della quale la serie costituiva lo sviluppo. Ora quest’opinione `e veramente fantasiosa e insostenibile, come meglio vedremo nel seguito e come si pu`o apprezzare considerando la s Continua »