Introduzione allo studio dei numeri complessi (6 pagine formato pdf)
1. Definizione e forma algebrica
L’esigenza di ampliare il campo reale introducendo una nuova classe di numeri, i cosiddetti complessi, nasce dall’impossibilità di risolvere in R tutte le equazioni algebriche di grado superiore al primo. Ad esempio, è ben noto che l’equazione x2+1 = 0 non ha radici reali, non esistendo
numeri reali col quadrato negativo.
Nello stesso ordine di idee che ha portato all’invenzione dei numeri interi relativi per rendere sempre possibile l’operazione differenza, all’invenzione dei razionali per poter sempre eseguire la divisione, e infine all’invenzione dei numeri reali, nati dalla geometria, quando ci si accorse che, ad esempio, il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato non è sempre razionale, si deve ora costruire un ambiente numerico dove, tanto per cominciare, la ricerca della radice quadrata di un numero abbia sempre successo.
L’introduzione di questi nuovi numeri avviene come segue: si definiscano in R×R = {(a,b)| a,b∈R} le due operazioni somma (+) e prodotto (⋅) mediante
1) (a,b)+(c,d) = (a+c, b+d)
2) (a,b)⋅(c,d) = (ac-bd, ad+bc)
Con una verifica diretta si constata che:
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