Analisi matematica

Alla base di una qualunque trattazione matematica c'è la nozione di insieme. Noi assumeremo la nozione di insieme come primitiva, come si fa nella geometria elementare con le nozioni di punto, retta, piano, etc. Non daremo cioè una "definizione" di insieme, dato che, per farlo, avremmo bisogno di altri concetti che, a loro volta, andrebbero definiti, e così via. Diremo dunque, alla buona, che un insieme è una collezione di oggetti detti gli elementi dell'insieme. Per esprimere il fatto che un oggetto x è un elemento dell'insieme E, diremo che x appartiene ad E. In tal caso scriveremo x ∈ E. Naturalmente la scrittura x ∉ E sta ad indicare che l'oggetto x non appartiene all'insieme E, os- sia che non è un suo elemento. Se, per esempio, prendiamo come E l'insieme dei numeri naturali pari, possiamo dire che 0, 4, 120 appartengono ad E, mentre non gli appartengono 1, -6, π, la città di Trieste, la sedia su cui siamo seduti. Assegnare un insieme significa assegnare i suoi elementi. Ne viene che per definire corretta- mente un insieme bisogna essere sempre in grado, almeno teoricamente, di decidere se un dato oggetto è o non è elemento del nostro insieme. Diciamo "teoricamente" perché, in pratica, la cosa può risultare difficile, se non addirittura impossibile. Sia, per esempio, E l'insieme dei numeri naturali positivi primi, cioè maggiori di 1 e divisi- bili solo per 1 e per se stessi. Le cose sono tranquille, dato che per decidere se un elemento x appartiene ad E basta vedere se, in primo luogo è un numero naturale positivo, in secondo luogo se è un numero primo. Ora però non è così banale decidere se è o non è primo il numero naturale 12343 847 + 98767 51276 - 1. Possiamo dunque parlare dell'insieme dei numeri reali positivi piccoli solo dopo che ab- biamo dato un criterio per decidere se un numero reale è o non è piccolo. Un altro punto al quale bisogna prestare attenzione è quello di non prendere insiemi "troppo grandi" perché si rischia di creare delle contraddizioni (antinomie). Non si può, per esempio, parlare dell'insieme di tutti gli insiemi o cose simili. Dati i nostri scopi, non c'è però da preoc- cuparsi molto di queste cose difficili. Per stare tranquilli, ci basterà sempre pensare che gli in- siemi e gli elementi di cui parliamo stanno tutti in un insieme universo U che potrà anche variare di volta in volta e che noi sottintenderemo sempre assegnato. Di solito, ma non sempre, indicheremo gli insiemi con lettere maiuscole A, B, C, X, … e gli elementi con lettere minuscole a, b, c, x, … Un primo modo per descrivere un insieme è quello di elencare tutti i suoi elementi racco- gliendoli fra parentesi graffe. Per esempio: E = {a, b, c, d}. Ciò può essere fatto anche se l'in- sieme è infinito, quando la scrittura ottenuta è di chiara interpretazione. Per esem Continua »