Controlli automatici

A p p u n t i d i C o n t r o l l i A u t o ma t i c i Uso della trasformazione di Laplace per la risoluzione di equazioni differenziali Per la soluzione delle equazioni differenziali sono di notevole utilità le trasformazioni funzionali, ossia le trasformazioni che associano funzioni a funzioni. In particolare, siamo qui interessati all'uso della trasformata di Laplace. Le trasformazioni tra funzionali stabiliscono una corrispondenza del o tempo, e biunivoca sulle funzioni oggetto, oggetto, come per più normalmente esempio semplici la funzioni derivazione funzioni funzioni immagine di diversa natura. In questo modo, le operazioni eseguite funzioni l'integrazione, e, di corrispondono ad operazioni sulle immagine conseguenza, al problema oggetto viene ad essere associato un problema immagine di più facile soluzione: Problema oggetto (equazione differenziale) Soluzione oggetto (funzione di uscita, soluzione dell'equazione differenziale) L Problema immagine (equazione algebrica nel dominio di Laplace) L-1 Soluzione immagine (trasformata di Laplace della funzione di uscita) Una volta ricavata la soluzione del problema immagine, si passa alla soluzione del problema oggetto eseguendo, sulle funzioni immagine, l'operazione di antitrasformazione (o trasformazione inversa). Appunti di "Controlli Automatici" Per essere più chiari, quando c'è da risolvere una equazione differenziale o integro-differenziale (problema oggetto), è possibile procedere nel modo seguente: in primo luogo, si trasforma l'equazione differenziale in una equazione algebrica (problema immagine) mediante l'applicazione della trasformata di Laplace; in questo passaggio, che comporta essenzialmente l'applicazione delle proprietà di derivazione nel tempo e di integrazione nel tempo, è importante fare attenzione alle condizioni iniziali; successivamente, si risolve l'equazione algebrica in modo da ottenere la soluzione immagine; a questo punto, di è possibile (cioè risalire alla alla soluzione dell'equazione applicando differenziale partenza soluzione oggetto) semplicemente l'antitrasformata di Laplace alla soluzione immagine. Questo, dunque, in linea generale. Vediamo ora i dettagli matematici. Il punto di partenza è l'equazione differenziale generica caratteristica di un sistema lineare stazionario avente n uscite ed m ingressi: an dny d n -1 y d mx d m- 1 x + a n- 1 n- 1 + a 0 y = b m m + b m- 1 m-1 + b 0 x dt n dt dt dt Siamo interessati a conoscere la funzione di uscita y(t) che soddisfa questa equazione e le condizioni iniziali specificate, vale a dire i valori di y e delle sue derivate (fino a quella di ordine n-1) nell'istante t=0 - . Possiamo allora scomporre (in base al cosiddetto teorema di separazione) la soluzione generale y(t) nella somma della soluzione y 0 (t) dell'equazione omogenea e di quella y 1 (t) corrispondente a condizioni iniziali tutte nulle: l'equazione omogenea associata a quella completa è dny d n-1 y a n n + a n -1 n -1 a 0 y = 0 dt dt Autore: Sandro Petrizzell Continua »