Matematica Generale - Corso A Prova scritta del 15 Settembre 1998 1. (9 punti) Calcolare, se esiste, il seguente limite x+ 2x + a lim 2x - 1 2 a 0 x -a 5 . 2. (11 punti) Data la funzione f : X R , X R definita da f x , y = a log axy 05 05 5 0 5 C i) determinarne il dominio X e rappresentarlo graficamente ii) determinare l'insieme di definizione C del gradiente della funzione iii) scrivere l'espressione dei seguenti insiemi: X C , X C , C X , X C , X C dove si è indicato con l'insieme derivato, con insiemi. C 0 , il complementare e con la differenza tra 3. (10 punti) Dopo aver enunciato la definizione di base di R , i) determinare per quale valore di b i vettori n x1 0 = 0 -1 x2 1 = ab 3 x3 3 = 1 2 NON costituiscono una base di R 3 ii) sostituire a b il valore appena trovato e scrivere, se possibile, una relazione di dipendenza lineare che lega i vettori fra di loro. Tempo a disposizione: 1 h 30 N.B. GIUSTIFICARE LE RISPOSTE Sostituire ad a il valore sotto riportato prima di svolgere gli esercizi. 1a) a=2 1b) a=3 2a) a=4 2b) a=5 Matematica Generale - Corso A Prova scritta del 15 Settembre 1998 - Traccia di soluzione Esercizio 1. x+ 2x + a 2 x + a = lim 2 x - a . Calcoliamo quindi lim a0 x - a 5 log 2x - 1 1 / a0 x - a 5 log x+ x+ 2x + a lim 2x - 1 a 0 x -a 5 = lim e x + log 2 x +a 2 x -1 a x -a = lim e x + a 0 x - a 5 log 2 x +a 2 x -1 =e x + lim a 0 x - a 5 log 2 x +a 2 x -1 . Sono verificate le ipotesi del teorema di de L'Hospital. Pertanto 2 x + a 22 x - 1 202 x - 15 - 202 x + a5 log 02 x - 15 2 x - a = lim x + a 1 lim = 3a 1 / a0 x - a 5 2 -1 / a 0 x - a 5 2x + a = e . Quindi lim 2x - 1 H 2 x+ x + 2 a 0 x -a 5 12 4a +a 9 2 x+ 2 +a . 8 Esercizio 2. %a log0axy5 0 i) Il dominio è dato da & 'axy 0 X= 2 1 1 % &0 x, y5 R : x 0 y ax x 0 y ax ( ) * %y 1 K ax axy 1, ossia & 1 K y ax x0 x 0 axy 1, quindi &axy 0 1 1 ( % x 0 y ). ax ax * 2 iii) Si ha X C = %0 x, y5 R : y = 1 ( ) & ax * 2 2 0 X C5 = X C X C = C C X = C 1 1 % 0 X C5 = &0 x, y5 R : x 0 y ax x 0 y ax ( ) * Esercizio 3. Si rimanda ai testi per la definizione. 3 i) I tre vettori di R dati costituiscono una base se sono linearmente indipendenti. 0 1 3 0 Risolvendo il sistema t 0 + u ab + v 1 = 0 si ottiene -1 3 2 0 %u + 3v = 0 %u = -3v Kabu + v = 0 K01 - 3ab5v = 0 . & & K-t + 3u + 2v = 0 K-t - 7v = 0 Dalla seconda equazione, si deduce che: se 1 - 3ab 0 , allora t = u = v = 0 e i vettori sono linearmente indipendenti sono linearmente dipendenti. 05 se 01 - 3ab5 = 0 , allora esistono valori di v diversi da zero (e così anche u e t) e i vettori 0 = 0 -1 1 = 1 / 3 3 3 = 1 . 2 3 I vettori dati NON sono una base di R se sono linearmente dipendenti, ossia se 01 - 3ab5 = 0 b = 31a . 1 ii) Sostituendo, i vettori diventano x x2 x3 Tali vettori sono linearmente dipendenti, quindi uno dei vettori può essere espresso come combinazione lineare degli altri due. 3 1 2 Si può esprimere, per esempio, x in funzione di x e x , risolvendo il sistema x 3 = tx1 + ux 2 , dal quale si ottiene x 3 = 7x1 + 3x 2 Continua »