Oscillatore Armonico-Pendolo di Kater

Oscillatore Armonico-Pendolo di Kater Oscillatore Armonico Un moto di particolare interesse dal punto di vista matematico-fisico è sicuramente quello armonico; per ipotizzarlo basti pensare ad un blocco di massa M, a cui è attaccata una molla ideale, di costante elastica k e priva di massa, vincolata a sua volta ad una parete: con tali ipotesi è possibile immaginare un moto periodico, causato da una forza di richiamo costante nel tempo (data in questo caso dalla legge di Hooke: F= - kx, nel caso unidimensionale), che descrive un'oscillazione completa in un tempo detto periodo (T). L'analisi matematica di tale fenomeno si ottiene uguagliando la forza di richiamo alla “Forza” data dalla seconda legge di Newton: Ma = - kx a si può scrivere come , per cui M = - kx o ancora meglio + x = 0 Quest'ultima espressione rappresenta un equazione differenziale di secondo ordine, non omogenea, la cui soluzione “potrebbe essere” una funzione trigonometrica; è lecito ipotizzare ciò in quanto la funzione di questo tipo è caratterizzata dal fatto di avere la derivata seconda uguale, a meno di qualche fattore, alla funzione stessa. Ipotizziamo, perciò, di avere la funzione x = xm cos(wt+?), e deriviamo: = - w xm sin (wt+?) e = - w2 xm cos (wt+?). Ritorniamo all'equazione differenziale, e sostituiamo i valori ottenuti: - w2 xm cos (wt+?) = - xm cos(wt+?) da cui otteniamo la relazione w2 = , o meglio w = , chiamata “frequenza angolare” o “pulsazione”. xm rappresenta l'ampiezza massima dell'oscillazione; ? invece è detta costante di fase, e rappresenta lo “spostamento temporale” del moto. w = 2? /T oppure w = 2 ? ? dove ? è la frequenza, ovvero l'inverso del periodo ? = 1/T. Invertendo tali relazioni otteniamo T = 2?/w Una volta chiarita tale teoria, andiamo ad analizzarne le applicazioni pratiche, tra cui le più importanti sono: il Pendolo di Torsione, il Pendolo Semplice e quello Fisico. Il pendolo semplice è un modello fisico ideale, non esistente in natura. E' costituito da un filo rigido, inestensibile, di massa trascurabile, vincolato ad un'estremità, mentre all'altra è attaccata una massa; il moto avviene in un piano verticale. Le forze in gioco sono: (1)Mg, la forza peso; questa si può scomporre lungo due direzioni: (2)Mg cos?, la componente lungo l'asse del pendolo; (3)Mg sin?, la componente radiale. La componente 2 è equilibrata dalla tensione del filo, quindi non ha nessuna influenza sul moto; la componente 3 invece rappresenta la forza di richiamo che caratterizza il moto armonico del sistema. Introducendo questa relazione nelle equazioni sopra riportate otteniamo: M= - Mg sin ? A questo punto possiamo fare una considerazione: per “piccoli” spostamenti angolari, il seno di un angolo può essere approssimato al valore dell'angolo [Tramite le formule di Taylor, o di Mc Laurin, ove è possibile], per cui sin ? ? ?. Ma ?, per la definizione di radiante, è dato dal rapporto dello spostamento Continua »