Liceo Scientifico Statale " Renato Caccioppoli " di Scafati Dipartimento di Matematica e Fisica Seminario di Fisica 2005 Appunti sulle Algebre di Boole Luigi Panariello Appunti sulle Algebre di Boole SOMMARIO 1. - Algebra delle proposizioni 1.1. 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2.1 1.2.2 Operazioni sulle proposizioni Negazione ( NOT ) Congiunzione (AND ) Disgiunzioni ( OR , XOR) Implicazione ed equivalenza Tabella abbreviata Uso delle parentesi 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. - Forme enunciative Tautologie e contraddizioni Sistemi completi di connettivi Leggi di De Morgan 2. - Algebra degli insiemi 2.1. 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2.1 2.2.2 2.2.3 L'insieme ambiente Proprietà e parti dell'insieme ambiente Intersezione fra insiemi Unione fra insiemi Complemento di un insieme La disgiunzione esclusiva (xor) Leggi di De Morgan Proprietà tabulate e numero di parti di un insieme finito 2.2. - Corrispondenza calcolo proposizionale-insiemi 3. - Algebre di Boole 3.1. Dualità 4. - Algebra dei circuiti 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.4.1 Interruttori in serie Interruttori in parallelo Interruttori complementari Schemi di interruttori Inserzione a ponte e casi generali 5. - Circuiti logici 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. Numeri in formato binario Il sommatore a due bit (half adder) Il full adder Il sommatore Il display a 7 segmenti Appunti sulle Algebre di Boole Premessa storica Il periodo più proficuo e rivoluzionario per lo sviluppo della matematica, dopo i fasti dell'antichità classica, fu il XIX secolo: in questo secolo furono avviate in maniera profonda e costruttiva nuove vedute e teorie: si superò la geometria classica (Nicolaj Ivanovic Lobacevskij , matematico russo, 1829), si introdusse la teoria degli insiemi finiti ed infiniti (Georg Cantor, matematico tedesco, 1874), si avviò l'algebra moderna (Arthur Cayley, J.J. Sylverster, anglo-americani , Evariste Galois, francese, William Hamilton). La teoria di Galois , giovane matematico morto nel 1932, all'età di 21 anni per un banale duello, è ancora oggi oggetto di ricerche e studi. Il massimo matematico dell'epoca (forse di tutti i tempi) fu Carl Friedrich Gauss (1777-1855) che oltre a fondare e costruire l'aritmetica moderna, diede contributi fondamentali a tutte le parti della matematica e della fisica. Si narra che all'età di 10 anni eseguì in pochi secondi la somma dei numeri da 1 a 100 fornendo al maestro il risultato esatto 5050 senza eseguire nessun calcolo. In particolare un matematico irlandese, George Boole (1815-1864) con la pubblicazione del libro The Mathematical Analysis of Logic nel 1847, diede inizio alla "Logica Matematica". Si tratta di un campo difficile e complesso, i cui risultati più sorprendenti si sono avuti nel secolo successivo, ad esempio nel 1931 con Kurt Godel , che in sostanza evidenziò la distinzione fra dimostrabile e vero in aritmetica e quindi in matematica. La teoria di Boole, che oggi è chiamata Algebra di Boole, è stata notevolmente sviluppata ed è ancora oggetto di studi e ricerche. Ha trovato notevol Continua »