Teorema Pitagora e Euclide

Untitled TEOREMA DI PITAGORA T. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa ?quivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Sia ABC il triangolo. Costruiamo sull'ipotenusa il quadrato BCDE, sul cateto AB il quadrato che indicheremo con Q1 e sul cateto AC il quadrato contrassegnato con Q2. Vogliamo dimostrare che il quadrato costruito sull'ipotenusa ?quivalente alla somma dei quadrati Q1, Q2 costruiti sui cateti. Condotta per A la perpendicolare a BC, si viene a scomporre il quadrato BCDE nei due rettangoli BLME, LCDM che indicheremo rispettivamente con R1, R2. Per il primo teorema di Euclide abbiamo: R1=Q1; R2=Q2. Da ci?gue per il terzo postulato sull'equivalenza che R1 + R2=Q1 + Q2. Dunque, il quadrato costruito sull'ipotenusa ?quivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE T. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto ?quivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa. Dato il triangolo ABC si costruiscano, come mostra la figura, il quadrato ABDE=Q ed il rettangolo BFGH=R, avente per dimensione la proiezione BF del cateto BA sull'ipotenusa ed il segmento BH uguale all'ipotenusa BC. Vogliamo dimostrare che Q = R. Le rette BH ed AF intersecano la retta DE rispettivamente nei punti I e K. Il quadrilatero IKAB = P ?n parallelogramma perch? suoi lati opposti sono paralleli per costruzione. I triangoli rettangoli ABC, DBI sono uguali in quanto hanno: AB=DB come lati del quadrato Q, ABC=DBI perch?omplementari dello stesso angolo IBA. Segue da ci?e sono uguali le loro ipotenuse BC,BI. D'altra parte ?C=BH per costruzione. Per cui si conclude che ?I=BH. Il rettangolo R ed il parallelogramma P, oltre ad avere uguale altezza BF (perch?ompresi fra le parallele HI, GK), hanno dunque uguali anche le basi BI, BH; per cui essi sono equivalenti. Analogamente sono equivalenti il parallelogramma P ed il quadrato Q che hanno la stessa base AB ed uguali altezze (perch?ntrambi compresi nella striscia di lati BA, DK). Pertanto, avendosi R=P e P=Q, si conclude che R=Q.
SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE T. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa ?quivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. Dato il triangolo ABC, si costruiscano sull'altezza AD relativa all'ipotenusa, sulla proiezione BD del cateto BA e sul cateto BA, rispettivamente i quadrati: ADGH=Q1; DBIK=Q2 ; Baml=Q3. Si costruisca poi il rettangolo IFEK=R avente le dimensioni IF, IK rispettivamente uguali alle proiezioni DC, BD dei cateti sull'ipotenusa e si osservi che il rettangolo BFED=Q2 + R ha l'altezza BF uguale all'ipotenusa BC. Vogliamo dimostrare che Q1 = R. Per il primo teorema di Euclide e per il teorema di Pitagora apllicati rispettivamente ai triangoli rettangoli ABC, ADB, abbiamo: Q3=Q2 + R; Q3=Q1 + Q2. Ne segue, per la propriet?ransitiva dell'equivalenza che Q1 + Q2 = Q Continua »