Teorema Rouche Capelli

Può capitare nella pratica di dover risolvere sistemi lineari in cui il numero m delle equazioni non sia uguale al numero n delle incognite. Prendiamo, ad esempio, il seguente sistema:

3x - y + 6z = 1
6x + 3y + 10z = 3

in cui il numero m delle equazioni è uguale a 2 e il numero n delle incognite è uguale a 3 .

Ci si propone di trovare delle condizioni che ci dicano se e quando un sistema di questo tipo sia possibile (ossia ammetta soluzioni che possono essere una sola o infinite).

Consideriamo a tal proposito la matrice A dei coefficienti del sistema e la matrice completa C del sistema ottenuta da A aggiungendo la colonna dei termini noti:

A = 3 -1 6 6 3 10
C = 3 -1 6 1 6 3 10 3

Ebbene, dato che la matrice A è una sottomatrice della matrice C , il rango di A sarà sicuramente minore o uguale di quello di C ; non potrebbe mai essere maggiore.

Si dimostra, a questo punto che vale il seguente Teorema di Rouchè-Capelli :

Un sistema di equazioni lineari ammette soluzione se e soltanto se la matrice completa C ha lo stesso rango della matrice A dei coefficienti del sistema.
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