Appunti sulla DCT

TRASFORMATA DISCRETA Appunti sulla DCT integrazione dei Lucidi del corso di Elaborazione Numerica dei Segnali 1a edizione: febbraio 2000 disponibile su rete telematica pubblica mediante download gratuito TRASFORMATA DISCRETA COSENO (DCT) • definizione La trasformata discreta coseno (Discrete Cosine Transform - DCT) di una sequenza x(n) di lunghezza N, e' una sequenza X(k), di lunghezza N, definita dalla: con mentre la trasformata discreta inversa coseno (Inversa Discrete Cosine Transform - IDCT) di una sequenza X(k) di lunghezza N, e' una sequenza x(n), di lunghezza N, data da: • DCT ed IDCT come sviluppo della sequenza su base ortogonale Definiti i vettori: x = [ x(0) , x(1) , ... , x(N-1) ]T X = [ X(0) , X(1) , ... , X(N-1) ]T e le matrici C e D di dimensione NxN, i cui elementi {cnk} e {dkn}, con 0?n?N-1 e 0?k?N-1, sono: le trasformazioni DCT ed IDCT possono pertanto essere espresse mediante gli operatori lineari C e D=C-1=CT come: X = C x x = D X = C-1 X Poiche' i vettori componenti la matrici C e D sono ortogonali e di modulo unitario, gli operatori corrispondenti sono delle semplici rotazioni di coordinate. Per tali tali trasformazioni valgono percio' le proprieta' geometriche delle trasformazioni ortonormali (ad esempio, conservazione delle distanze). • relazione con la DFT La DFT e' uno sviluppo del segnale su una base di coseni e seni, mentre la DCT e' uno sviluppo su una base di soli coseni. E' possibile sviluppare un segnale reale in SOLI coseni se e solo se la sua trasformata di Fourier e' reale pura, cioe' se il segnale e' PARI (simmetrico attorno a 0). E' possibile sviluppare un segnale QUALUNQUE in serie di soli coseni se il dominio del segnale e' raddoppiato mediante una "specchiatura" attorno a 0 dello stesso segnale: Nota 1: i campioni originari si sono tutti spostati di mezzo periodo in ritardo. Nota 2: i campioni specchiati sono in totale in numero doppio di quelli originari. Partendo da queste due osservazioni, si possono derivare le espressioni della DCT in funzione della DFT e quella della IDCT in funzione della IDFT (che ne consentono un rapido calcolo mediante la FFT diretta ed inversa). Infatti, definita x2(n) la sequenza specchiata centrata in 0: la DCT X(k) della sequenza x(n) di N campioni coincide numericamente con la DFT X2(k) su 2N punti della sequenza specchiata x2(n), moltiplicata per un termine di ritardo pari a mezzo periodo di campionamento della sequenza x(n), cioe': X(k) = e-j?k/(2N) X2(k) che consente il calcolo veloce della DCT di N campioni mediante algoritmi FFT su 2N punti. Analogamente, se costruiamo i 2N campioni della trasformata DFT X2(k) come: e calcoliamo la IDFT su 2N punti della X(k), otteniamo proprio la stessa sequenza specchiata x2(n) centrata in 0, evidenziata in precedenza. Percio', risulta banalmente: x(n) = x2(n) per 0?n?N-1 che consente il calcolo veloce della IDCT mediante algoritmi FFT inversi (IFFT) su 2N punti. La validita' della rappresentazione mediante coefficienti Continua »