Esercizio n.9 Calcolare la convoluzione tra i due segnali : x(t) = rect (t - ) - r e c t (t - 2) e y(t) = rect 2 ( t - ) Conviene inizialmente disegnare i due segnali tra cui calcolare la convoluzione (fig.9.1). x(t) A 5/2 /2 t -A y(t) 2 t -B fig.9.1 Si può osservare che entrambi gli impulsi sono generati da due sub-impulsi di durata , il primo traslato verso destra di /2. Questa traslazione può essere inizialmente trascurata, per poi inserirla nel risultato finale, secondo quanto detto nell'introduzione. La inversione di y(t) porta alla situazione individuata dall'indice A nella fig. 9.2. Poiché la convoluzione tra impulsi rettangolari deve portare alla presenza di segmenti rettilinei, per valutare la convoluzione è sufficiente individuare i valori che si ottengono nei punti in cui le rette cambiano pendenza: sono le situazioni indicate dagli indici B, C, D, E nella stessa fig. 9.2. che corrispondono a traslazioni di , 2, 3 e 4 rispettivamente. 1 x(t) 5/2 /2 yt) 2 A B C D E fig.9.2 Quanto indicato nella figura può essere riassunto in una matrice la cui prima riga rappresenta il segnale x(t) che non trasla rappresentato nella terza e quarta colonna. La seconda riga rappresenta il segnale y t), la terza y( t) e successivamente ancora y( 2 t), y(3 t), y(4 t). Nella figura e nella tabella non sono indicate le ampiezze, di cui bisognerà tener conto moltiplicando per AB il risultato finale (si ricorda che è il massimo della tra due impulsi rettangolari della stessa durata e ampiezza unitaria). 2 Per ogni posizione del segnale che trasla, cioè per ogni riga, si procede a moltiplicare tra loro la prima riga e quella in esame, sommando poi i risultati ottenuti. Si ha allora il risultato riportato nell'ultima colonna. 0 -1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 1 0 -1 -1 0 0 -1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 RIS 0 -1 0 1 0 Nella fig. 9.3 è riportato il risultato rappresentato dall'ultima colonna della matrice; nella fig. 9.4 il risultato della convoluzione nella posizione e con le ampiezze corrette. C(t) 1 2 3 t -1 fig. 9.3 Cxy(t) AB /2 3/2 7/2 t 9 /2 - AB fig. 9.4 3 Si può osservare come la durata della convoluzione sia pari alla somma delle durate dei due impulsi. Lo stesso procedimento si può applicare ai segnali dell'esercizio n.4; la matrice che rappresenta la convoluzione è, avendo trascurato la traslazione 2 del segnale y(t), che si suppone di non traslare: 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 RIS 0 1 -1 0 che ci consente di ottenere facilmente il risultato di fig.4.2 Esercizio n.10 Calcolare la convoluzione tra i due segnali : x(t) = rect (t - / 2) - r e c t ( t - 3 / 2 ) + r e c (t - 5 / 2 ) t e y(t) = rect (t - / 2) - r e c t ( t - 3 / 2 ) + r e c (t - 5 / 2 ) t Procedendo come indicato nel precedente esercizio si può costruire la matrice che caratterizza il problema: 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 1 0 1 -1 1 0 0 0 -1 0 0 1 -1 1 0 0 1 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 RIS 0 1 -2 3 -2 1 0 Nella fig. 10 Continua »