Appunti di Controlli automatici 1 Antitrasformata di Laplace Introduzione: funzioni razionali. 1 Antitrasformazione delle funzioni razionali strettamente proprie. 2 Applicazione alle equazioni differenziali. 4 Esempio . 5 Esempio. 5 Esempio: problema di Cauchy del 2 ordine . 7 Proprietà: poli complessi coniugati . 8 Esempio: sistema di equazioni differenziali del 1 ordine. 8 Esempio: problema di Cauchy del 2 ordine . 9 Esempio: problema di Cauchy del 2 ordine . 12 INTRODUZIONE: FUNZIONI RAZIONALI Basandosi sulle proprietà fondamentali della trasformata di Laplace, è noto che la condizione necessaria affinché una funzione F(s) (con s complesso) possa essere la trasformata di Laplace di un lim segnale f(t) (con t reale) è che essa sia infinitesima all'infinito, ossia che Re( s) F(s) = 0 . Supponiamo, in particolare, che la funzione F(s) sia una funzione razionale del tipo F(s) = P (s) Q (s) dove P e Q sono due polinomi a coefficienti complessi di grado, rispettivamente, m e n e dove sC. In questo caso, il limite per Re(s) della F(s) esiste e fornisce un risultato diverso a seconda del valore di m e di n: P(s) lim = bm / a n Re( s) + Q( s) 0 R S T se m n se m = n se m n dove è ovvio che an è il coefficiente di massimo grado di P(s) e bm quello di massimo grado di Q(s). E possibile dimostrare, sotto certe ipotesi che adesso elencheremo, che la condizione necessaria citata prima è anche sufficiente: se la F(s) è una funzione razionale fratta, ossia data dal rapporto P(sQ(s), se m 0 Il problema di Cauchy da risolvere può essere pensato come un sistema che, nelle condizioni iniziali specificate, riceve un segnale in ingresso x(t) e risponde con un segnale in uscita y(t). Risolvere quel problema di Cauchy significa determinare il segnale y(t). Applicando l'operatore trasformata di Laplace all'equazione si ottiene la seguente espressione per la trasformata del segnale y(t): 1 1 Y(s) = 2 X(s) + 2 (s) s + 3s + 1 s + 3s + 1 La prima cosa da fare è verificare con che tipo di sistema abbiamo a che fare; andiamo perciò a trovarci i poli della funzione di trasferimento: si trova che tali e hanno entrambi parte reale negativa. Questo ci dice che il sistema è asintoticamente stabile: allora, ai fini della valutazione della risposta a regime del sistema, possiamo limitarci a calcolare la risposta forzata, trascurando sia il contributo delle condizioni iniziali sia quello della risposta naturale. Dato che G (s) = 1 A B X(s) - - s- s- s + 3s + 1 2 l'unico problema sta nell'antitrasformare la funzione X(ss2+3s+1), in quanto l'antitrasformazione delle 2 frazioni è immediata. ESEMPIO Vogliamo antitrasformare la funzione di trasferimento G ( s) = s2 + s + s ( s + 3) 2 ( s + 1)( s + 5) Questa funzione presenta 3 poli (ossia tre zeri del denominatore) tutti reali: s3 è un polo del 3 ordine, s1 è un polo semplice ed anche s5 è un polo semplice. Scomponiamo allora la funzione in fratti semplici: A B C D G ( s) = + + + 2 ( s + 3) ( s + 3) ( s + 1) ( s + 5) 5 Autore: Sandro Pe Continua »