Appunti di "Controlli Automatici 1" Sistemi dinamici lineari del 2 ordine Funzione di trasferimento . 1 Esempio . 2 Esempio . 3 Posizione dei poli della funzione di trasferimento . 4 Risposta al gradino unitario . 4 Massima sovraelongazione . 6 Specifiche di progetto sui sistemi del secondo ordine . 9 Specifiche nel dominio del tempo. 10 Diagramma di Bode dei moduli . 11 Picco di risonanza e pulsazione di risonanza . 12 Banda passante . 13 Legame tra specifiche nel tempo e specifiche in frequenza . 14 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Si definisce sistema (elementare) del secondo ordine un sistema che sia caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma seguente: 2 m H ( s) = 2 2 s + 2 m s + m Si tratta cioè di una funzione razionale avente denominatore di 2 grado e numeratore di grado 0. Compaiono in questa frazione 2 importanti parametri: il coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale m. Il valore di questi parametri influenza la posizione dei due poli della funzione di trasferimento, in accordo a quanto illustrato nella figura seguente: Appunti di "Controlli Automatici 1" Le espressioni analitiche dei due poli si ottengono evidentemente ponendo =0 il denominatore di H(s) e trovando le due soluzioni della corrispondente equazione: p1/ 2 = - m j m 1 - 2 Abbiamo cioè, in generale due poli complessi e coniugati. Esempio Consideriamo un sistema meccanico costituito da una massa M collegata ad una parete verticale attraverso una molla di costante k ed uno smorzatore con attrito viscoso di costante B: k Massa r F M B x x=0 r Alla massa M è applicata una forza F che tende ad allontanarla dalla parete. Vogliamo descrivere la dinamica del sistema, ossia vogliamo descrivere la posizione della massa rispetto ad un riferimento arbitrariamente fissato:rdobbiamo dunque legare l'uscita (cioè appunto la posizione) all'ingresso (rappresentato dalla forza F ). Usando l'equazione di Newton F=ma e applicando semplicemente un bilancio di forze, otteniamo l'equazione differenziale dx d2x F( t ) - kx - B =M 2 dt dt dove, per comodità, abbiamo preso l'origine x=0 del riferimento per la posizione in corrispondenza della massa. Riscrivendo allora l'equazione in forma più opportuna, abbiamo che M d2x dx +B + kx = F( t ) 2 dt dt Facciamo la solita ipotesi di condizioni iniziali nulle: in questo modo, applicando la trasformata di Laplace ad entrambi i membri, otteniamo Ms 2 X(s) + BsX(s) + kX(s) = F(s) da cui ricaviamo che la trasformata dell'uscita forzata del sistema è 1 F(s) F(s) M X(s) = = Ms 2 + Bs + k s 2 + B s + k M M 2 Autore: Sandro Petrizzelli Sistemi dinamici lineari del 2 ordine e quindi che la funzione di trasferimento è 1 X(s) M H(s) = = B F(s) s 2 + s + k M M Esempio Consideriamo adesso un semplice circuito RLC serie: R e(t) + - C Applicando la LKC e la LKT al circuito, nell'ipotesi di condizioni iniziali nulle, otteniamo l'equazione integro-differenziale t di 1 e( t ) = Ri( t ) + L + i(T)dT dt C 0 Continua »