Funzioni radice: Appunti sulle funzioni radice. (12 pag-formato pdf) ( formato pdf)

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Politecnico di Torino CeTeM Corso Propedeutico di Matematica 7 Funzioni Radice Sommario Esercizi FUNZIONI RADICE RICHIAMI DI TEORIA f ( x) = n x dom f Im f 2 grafici 1.5 1 n=3 n=5 n=7 n=9 0.5 n dispari R R 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1 0 1 2 Grafici di funzioni radici con n pari 2.5 2 n=2 n=4 n=6 n=8 1.5 n pari [ 0) [ 0) 1 0.5 0 -0.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Politecnico di Torino Data ultima revisione 11/05/00 Pagina 1 di 12 Politecnico di Torino CeTeM Corso Propedeutico di Matematica 7 Funzioni Radice Sommario Esercizi Proposizione: le funzioni radice verificano le relazioni: ( x) n n n =x per ogni x [ 0) , n 1 per ogni x [ 0) , n 1 xn = x Proposizione: siano a e b numeri reali tali che a, b 0 e siano n ed m numeri naturali tali che n, m 1. Valgono le seguenti proprietà: 1. n ab = n a n b a na n 2. = b nb 3. 4. ( a) n mn m = n am a = nm a 5. m a = nm a n 1 Definizione: se nN, n 0 e se x 0 definiamo x n = n x ; p se p e q interi positivi, primi tra loro, e se x 0 definiamo x = x ; p - 1 q se p e q interi positivi, primi tra loro, e se x 0 definiamo x = p . xq q p q Politecnico di Torino Data ultima revisione 11/05/00 Pagina 2 di 12 Politecnico di Torino CeTeM Corso Propedeutico di Matematica 7 Funzioni Radice Sommario Esercizi ESEMPI 1. Ridurre allo stesso indice i radicali seguenti 5, 4 2, 8 3, 12 7. Calcoliamo il m.c.m tra gli indici dei radicali: m. c. m( 2,4 ,8,12) = 24 Utilizzando la proprietà (5) possiamo scrivere: 12 5= 2 24 2 5 = 212 512 = 24 512 , 24 2 4 2 = 46 2 6 = 24 26 , 8 3 = 83 33 = 24 33 , 7 = 122 72 = 24 72 3m+ 3 2. Semplificare l'espressione a 2 m+ 2 b m +1 , dove a, b 0. Utilizzando la proprietà (5), abbiamo: 3m+ 3 a 2 m+ 2 b m+ 1 = 3( m+ 1) a 2( m+1) b m+1 = 3( m+ 1) a 2 b ( ) m +1 = 3 a2 b 3. Ridurre 1 xy ad un unico radicale, supponendo x0 e y 0. x2 Applicando le proprietà delle radici otteniamo: 1 xy xy 1 1 xy = = = x 2 x x2 2 2 2 1 xy = x2 2 y 2x Politecnico di Torino Data ultima revisione 11/05/00 Pagina 3 di 12 Politecnico di Torino CeTeM Corso Propedeutico di Matematica 7 Funzioni Radice Sommario Esercizi 4. Date le seguenti espressioni, portare fuori segno di radice i fattori il cui esponente è maggiore o uguale all'indice della radice. 50a 2 b 5 x 3 con a, b, x 0 In generale, applicando le proprietà delle radici, abbiamo n a n b = n a n n b = a n b , supponendo a, b 0. Cerchiamo di isolare nel radicando un fattore di esponente 2 (indice della radice): 50a 2 b5x 3 = 2 52 a 2 b4 b x 2 x = 8x 2 y 3 z 4 (5ab x) 2 2 2bx = 5ab2 x 2bx Osserviamo che, a differenza dell'esercizio precedente, in questo caso non è stato specificato il campo di variabilità di x e y: occorre, dunque, applicare le proprietà con una certa cautela (ricordiamo che le proprietà sono valide se i fattori che compongono il radicando sono positivi). x se x 0 In generale, per ogni xR, x 2 = = x , poiché la radice quadrata, come ogni radice di indice pari, è una quantità - x se x 0 positiva. Tenendo conto di questa osservazione abbiamo: 8x 2 y 3z 4 = (2xyz ) 22 2 y Continua »

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