Esercizi di Teoria dei Segnali La Trasformata di Fourier 1 Esercizio 1 Calcolare la trasformata di Fourier del segnale di fig. 1.1. x(t) A B - T/2 T/2 t fig.1.1 Per calcolare la trasformata di questo segnalesi può operare in più modi diversi; il primo prevede di applicare direttamente la definizione di trasformata al segnale che si può scrivere come: x(t) = A + B - A - B t rectT (t) 2 T Si deve pertanto risolvere l'integrale: T/2 X(f) = - T/2 che si può scrivere come: T/2 X(f) = A + B T sinc (fT) - A - B 2 T - T/2 t e- j 2ft dt A + B - A - B t e- j 2ft dt 2 T Tenendo conto della simmetria dell'intervallo di integrazione, tale espressione diventa: T/2 A + B T sinc (fT) + 2 j A - B X(f) = t sin (2ft) dt 2 T 0 L'integrale presente in questa espressione può risolversi per parti : X(f) = A + B T sinc (fT) - 2 j A - B T cos (fT) + 2 T(2f) 2 T/2 +2j A - B T(2f) e infine: cos (2ft) dt 0 2 X(f) = A + B T sinc (fT) - j A - B T cos (fT) + 2 2(fT) +2j A - B sin (fT) = T(2f)2 X(f) = A + B T sinc (fT)+ A - B cos (fT) + 2 2 jf - A-B (2jf) sinc (fT) Si può osservare che il calcolo non è difficile, ma è piuttosto laborioso. Per semplificare il calcolo si può ricorrere ad una importante proprietà della trasformata di Fourier, quella secondo cui se ad x(t) corrisponde X(f), allora a dx(tdt corrisponde j2f X(f). Indicando con D(f) la trasformata di dx(tdt, al segnale corrisponde come trasformata la quantità D(f)/ j2f . La derivata del segnale è riportata nella fig.1.2 e si può scrivere come: dx(t) = A u0( t +T/2) - B u 0( t -T/2)) - A - BrectT (t) dt T x(t) A - T/2 T/2 t (B-AT -B Fig.1.2 Questa quantità è facilmente trasformabile: D(f) = A e j fT- B e- j fT - (A - B)sinc(fT) e quindi: j fT- B e- j fT (A - B)sinc(fT) X(f) = A e j 2 f j 2 f Con qualche manipolazione si può ricondurre questa espressione all'altra calcolata in precedenza; infatti: 3 (A+B+A-B) j fT (A +B-A+B) - j fT e e (A - B)sinc(fT) 2 2 X(f) = = j 2 f j 2 f (A+B) j fT - j fT (A -B) - j fT - j fT e -e + e +e (A - B)sinc(fT) 2 =2 = j 2 f j 2 f = (A+B) sin(fT) cos(fT) sinc(fT) + (A -B) - (A - B) 2 f j 2 f j 2 f Comunque si può scrivere per lo spettro di densità di energia: (A - B)2 cos(fT) - sinc(fT) 2 A+ B)2sin2 (fT) X(f) 2 = (2 f)2 e per lo spettro di fase: (f) = tg- 1 (A+ B)sin (fT) - (A - B) cos(fT) - sinc(fT) 2 Nelle tre figure che seguono vengono riportati gli andamenti dello spettro di ampiezza assumendo sempre A + B = 3, T = 1 ma per diversi valori di B X(f) B=0 fT fig.1.3 4 X(f) B= A/2 fT fig.1.4 X(f) B = 0,9A fT fig 1.5 Si può verificare come al tendere di B ad A lo spettro tende a quello di un impulso rettangolare di ampiezza (A +B2. Il caso B = 0 è quello per cui l'impulso degenera in un triangolo (fig. 1.6) che ha come trasformata: j fT A sinc(fT) X(f) = A e j 2 f j 2 f 5 x(t) A - T/2 Fig.1.6 T/2 t Un'ultima osservazione è legata alla possibilità di decomporre il segnale nella somma di due addendi più semplici; si può infatti pensare il segnale in esame come la somma di un rettangolo di ampi Continua »