ANALISI PARTE 3

Liceo Scientifico Statale " Renato Caccioppoli " di Scafati Dipartimento di Matematica e Fisica Appunti di analisi 3 Successioni Luigi Panariello -2- SOMMARIO 3. - Successioni . 2 3.1 Definizioni . 2 3.2 Principali teoremi sui limiti . 4 3.3 Operazioni sui limiti. 5 3.4 Serie numeriche. 7 3.5 Il numero e di Eulero. 9 3. Successioni 3.1 Definizioni Una funzione a valori reali a: nN anR, definita nell'insieme dei numeri naturali (oppure in una semiretta [k) di numeri naturali ) è chiamata successione (di numeri reali). Per ogni indice nN deve essere definito il valore numerico an chiamato termine di indice n. Il primo indice della successione può essere 0 oppure 1 oppure un naturale k 1. Se tutti i termini della successione sono uguali allora la successione è chiamata costante. Le successioni definite monotòne sono le seguenti: Successione crescente (cioè si ha n m an am ) Successione decrescente (cioè si ha n m an am ) Successione non decrescente (cioè si ha n m an am ) Successione non crescente (cioè si ha n m an am ) Si definisce inoltre: Successione limitata superiormente ( da un maggiorante kR) se an k nN Successione limitata inferiormente ( da un minorante hR) se an h nN Data una successione an di numeri reali, da essa si possono ricavare: la successione dei moduli an, a termini tutti non negativi. 1 la successione inversa (o reciproca) bn = sempre che i termini an siano tutti non nulli. an Date due successioni an, bn, si possono costruire le successioni: sn = an + bn (somma) dn = an - bn (differenza) pn = anbn (prodotto) qn = an / bn (quoziente, solo se tutti i termini bn sono non nulli). la combinazione lineare cn = x an + y bn , dati due coefficienti numerici x,y. Se al crescere dell'indice n i termini an si approssimano sempre di più ad un numero reale finito si dirà che la successione converge al limite e si potrà scrivere lim a n = n oppure ( an per n ) Una definizione più precisa di limite e di convergenza è la seguente: Si dirà che la successione an è convergente al numero reale e che è il limite della successione, se per qualunque numero 0, sia pure piccolo a piacere, è possibile trovare un opportuno indice k tale che per tutti gli indici n k si abbia an - . Appunti di Analisi 3 - Successioni -3- In linguaggio più espressivo, che sarà frequentemente adottato, si potrà dire anche che preso un intorno I di , sebbene piccolo a piacere, esso contiene tutti i termini della successione da un certo indice in poi (ovvero, come si suole dire, definitivamente). E evidente allora che una successione definitivamente costante i cui termini, da un certo indice in poi, siano tutti uguali ad un numero fisso, converge ad . Se invece i termini della successione crescono sempre di più, senza possibilità di trovare un maggiorante, si dice che la successione diverge positivamente e che ha limite +, e si potrà scrivere lim a n = + n oppure ( an + per n ) In termini più precisi ciò significa che per qualunque numero reale positivo M, grande a piacere, i te Continua »