ANALISI

Liceo Scientifico Statale " Renato Caccioppoli " di Scafati Dipartimento di Matematica e Fisica Appunti di analisi 2-Funzioni e continuità Luigi Panariello -2- SOMMARIO 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 FUNZIONI . 3 Definizioni . 3 Definizioni relative a funzioni reali di variabile reale. . 4 Funzioni continue. 7 Proprietà delle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato. . 9 Operazioni sulle funzioni e continuità. 11 Appunti di Analisi 2 Funzioni e continuità -3- 2. - Funzioni 2.1 Definizioni Dati due insiemi S e T, sia assegnata una legge f per cui ad ogni elemento x S sia possibile associare un elemento yT, univocamente determinato da x. Si dirà che f è una funzione (univoca) oppure un'applicazione di S in T. L'elemento y è detto immagine ( oppure valore di f in x ) di x ed è indicato con f(x). La scrittura y = f(x) è l'equazione della funzione f ed in essa si considera x come una variabile ( indipendente) suscettibile di percorrere l'insieme S ed y come una variabile dipendente (da x) che appartiene a T. L'applicazione f si S in T può essere segnalata anche con simboli del tipo f:xS y T o ppure f:xS f(x) T. L'insieme S è detto campo di definizione oppure dominio di f. Se x percorre tutto S allora l'immagine f(x) percorre una parte di T (eventualmente tutto T), indicata con f(S) e chiamata codominio di f oppure insieme dei valori di f oppure ancora immagine di S (mediante f). Si ha quindi f(S) T. Una funzione è detta costante se l'insieme dei valori è costituito da un solo elemento y0T. In simboli: xS f(x) = y0. Una funzione è detta biunivoca (o iniettiva) se elementi distinti di S associano elementi distinti di T. In simboli: x', x' S x x' f(x') f(x) Una funzione iniettiva consente di costruire la funzione inversa f* avente per campo di esistenza l'insieme f(S) (codominio di f) ed a valori in S: la funzione inversa applica infatti ogni yf(S) sull'unico elemento x S tale che f(x) = y. Una funzione è detta surriettiva (oppure che applica S su T) se f(S) = T e cioè se ogni elemento y T è l'immagine di (almeno) un elemento xS. Un'applicazione f: S T è detta poi invertibile se è iniettiva e surriettiva e quindi se ammette l'inversa f * : T S. Dati tre insieme S,T,U e due funzioni f: xS y = f(x) T e g: yT z = g(y) U, si può costruire una funzione composta che opera secondo lo schema xS g[f(x)] U. La funzione così ottenuta viene di solito indicata con il simbolo di composizione g o f (si legga "g composto f. Sottoforma di equazioni, se le variabili sono indicate con x in S, con y in T, con z in U, si può applicare semplicemente il principio di sostituzione: z = g(y), y = f(x) da cui segue z = g[ f(x) ]. L'equazione fa z ed x rappresenta la funzione composta g o f (x). In analisi si considerano quasi sempre funzioni numeriche, cioè con campi di definizione numerici e campo dei valori numerici. In particolare una funzione f è detta funzione reale di variabile reale se la variabile indipendente percorre un insieme di numeri reali S ( R) ed il codominio Continua »