ALGEBRA 4: EQUAZIONI DI II§ GRADO LE EQUAZIONI DI II° GRADO §1. Introduzione Definizione. `Si chiama equazione di II° grado (o quadratica) ad un'incognita un'eguaglianza tra due polinomi di II° grado in una lettera detta incognita. Useremo di regola per rappresentare l'incognita la lettera x.' Se indichiamo con A(x) e B(x) i due polinomi di secondo grado in x, l'equazione è quindi un'espressione del tipo A(x)=B(x). Per es. x²-5=3x²-x-4; x+2-x²=?2+x; 0=4x²+10; sono tutte equazioni di secondo grado ad un'incognita. Osserviamo che non necessariamente entrambi i polinomi A(x) e B(x) - che d'ora in poi chiameremo, rispettivamente, primo e secondo membro - devono essere di secondo grado. Basta che uno dei due sia di secondo grado e che l'altro non sia di grado superiore al secondo. Risolvere un'equazione significa trovare quei numeri, se ci sono, che sostituiti al posto dell'incognita soddisfano il segno di =. Per es., l'equazione x²-3x+6=2x ha una soluzione nel numero 2. Infatti, sostituendo al posto di x il numero 2, otteniamo 2²-3x2+6=2x2; 4-6+6=4; 4=4 vero! La stessa equazione ha un'altra soluzione nel numero 3. Infatti 3²-3x3+6=2x3; 9-9+6=6; 6=6 vero! Si può dimostrare che quell'equazione non ha nessun'altra soluzione. Questo es. ci serve a rimarcare un fatto importante: a differenza delle equazioni di I° grado ad un'incognita studiate in Iª (che di regola avevano una sola soluzione), quelle di II° grado hanno di regola 2 soluzioni, che in casi particolari possono ridursi - come vedremo - ad una ed anche a nessuna. In ogni caso, mai più di 2. Studiamo adesso l'algoritmo risolutivo delle equazioni quadratiche. Cominciamo con la seguente generale Definizione. Se due equazioni hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti. È chiaro quindi che, data un'equazione, il primo sforzo deve essere dedicato a trasformarla in un'equazione equivalente più semplice. Per fare questo si usano i 3 princìpi generali delle uguaglianze algebriche: I° PRINCIPIO DELLE UGUAGLIANZE. In un'uguaglianza algebrica A=B, se aggiungiamo (o togliamo) ad entrambi i membri lo stesso polinomio C, otteniamo un'uguaglianza equivalente. (Ricordiamo che due uguaglianze si dicono equivalenti se, quando è vera l'una è vera anche l'altra; e, quando è falsa l'una è falsa anche l'altra). Il primo principio sancisce quindi che A=B ? A±C=B±C. Per es. l'equazione 2x²-5=x+4 è equivalente, ossia ha le stesse soluzioni, dell'equazione 2x²-5+5=x+4+5, ottenuta aggiungendo lo stesso numero 5 ad entrambi i membri. Osserviamo ora che la suddetta equazione si trasforma nell'equazione equivalente: 2x²=x+9. Qual è stato il risultato netto di aver aggiunto 5 ad entrambi i membri? Il numero -5 è passato da un membro all'altro cambiando di segno. Analogamente, avremmo 2x²=x+9 ? (stavolta tolgo x ad entrambi i membri) 2x²-x=x+9-x ? 2x²-x=9: il monomio x è passato da un membro all'altro cambiando di segno. Ancora, potremmo trasportare il monomio 2x² da una parte all'altra cambiandolo di segno, ed otterremmo Continua »