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Esercizi e soluzioni sui polinomi: Diversi esercizi di matematica sui polinomi con le soluzioni. (3 pagg., formato word) ( formato doc)

VOTO: 3 Appunto inviato da franzthebest

Esercitazioni sui polinomi Esercitazioni sui polinomi. Trova tutti i polinomi p tali che p(0)=0 e che per ogni x, p(x+1)=p(x)+1 Siano a,b,c e d interi distinti e supponi che (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-4=0 abbia una radice intera r. Dimostrare che: 4r=a+b+c+d Risolvi il seguente sistema: x+y+z=a x+y+z=b xy=z per x, y e z (sono date le necessarie condizioni di a e b affinch x,y e z sono distinti e positivi). Sia a un numero fissato diverso da 0. Trova tutte le soluzioni(che ovviamente dipendono da a) del sistema: x+y+z=a (1/x)+(1/y)+(1/z)=1/a Per quali interi positivi n l'espressione: x^n+(2+x)^n+(2-x)^n ha una radice razionale?(y^n significa y elevato alla n-esima potenza) Dimostrare che se a,b e c sono tre termini consecutivi di una progressione aritmetica di interi allora non possibile che a^n+b^n=c^n Un polinomio P(x)=x^n+ax^(n-1)+bx^(n-2)+……..+1 con coefficienti reali ha n radici reali. Dimostrare che P(2)> 3^n o P(2)=3^n. Sia P(x) un polinomio i cui coefficienti sono interi positivi. Chiamiamo a(n) la Somma delle cifre di cui composto lo svolgimento di P(n). Dimostra che c' una sequenza che appare infinite volte nella sequenza a(1),a(2),…….a(n),……. (a)Trova il minimo valore che pu assumere il polinomio P(x,y)=4+xy^4+x^4y-3xy (b)Dimostrare che questo polinomio non pu essere espresso come somma di quadrati di polinomi in x e in y con coefficienti reali. Soluzioni dei problemi Possiamo facilmente individuare infiniti x tali che p(x)=x (0,1,5,26,….). Quindi p(x)-x un polinomio con infinite radici e quindi deve essere uguale a 0. Dunque l'unico polinomio che soddisfa le richieste p(x)=x Nota che (r-a)(r-b)(r-c)(r-d)=4 e i fattori a destra sono tutti interi e diversi l'uno dall'altro.Quindi gli unici valori che tali fattori possono assumere sono -1, +1,+2,-2. Sommando queste eguaglianze si ottiene la tesi. Consideriamo il polinomio q(t) che ha x,y e z come soluzioni. q(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t+(xy+xz+yz)t-xyz. Ma si ha che xy+xz+yz=((x+y+z)-x-y-z)/2=(a-b)/2 e sostituendo nell'espressione sopra trovata si ha che q(t)=t^3-at+((a-b)/2)t-z^3. Dal momento che q(z)=0 si ha che z^3-az+((a-b)/2)z-z^3=0 da cui si ricava che o z=0 o z=(b-a)/(2a) e si ricavano poi facilmente le altre soluzioni. Sia s=xy+xz+yz. Quindi xyz=sa. Cos x,y e z sono le radici del polinomio q(t)=t^3-at+st-sa. Ma a chiaramente una radice dell'equazione e quindi almeno uno tra x,y e z uguale ad a(e quindi chiaramente gli altri due termini sono c e -c per un qualsiasi c diverso da 0). Quindi le sole e uniche soluzione dell'equazione sono tutte le permutazioni della terna (a,c,-c) con c reale diverso da 0. Se n pari nessun termine negativo e almeno uno positivo, cosicch in Questo caso non esiste nessuna radice reale.Ora supponi che n sia dispari e maggiore o uguale a 3(il caso n=1 banale). Svolgendo il polinomio, si osserva che lo stesso polinomio monico e ha il termine noto uguale a 2 Continua »

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