Teorema di Taylor: Definizione del teorema di Taylor (4 pagine formato doc)

VOTO: 6 Appunto inviato da marciansalvatore87

In analisi matematica, il teorema di Taylor è un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabile attorno ad un dato punto data da polinomi, i polinomi di Taylor, i cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto.
I polinomi sono tra le funzioni più semplici da utilizzare; molte funzioni possono essere approssimate con polinomi, in modo che tale approssimazione sia "abbastanza" precisa. Il mezzo con il quale si pratica tale approssimazione è il polinomio di Taylor. Esso è una diretta conseguenza del Teorema di Lagrange: in effetti ad una funzione differenziabile in un punto si può applicare il teorema di Lagrange:
dove . Da questa si ottiene:
e data la generalità dei punti scelti vale in tutti i punti in cui la funzione è differenziabile. Questa non è altro che la retta tangente della funzione f nel punto x e che è un polinomio di primo grado che approssima la funzione f(x) in un intorno di x.
Il teorema
Sia derivabile n volte nell'intervallo [a,b]. Sia x0 un punto appartenente a questo intervallo. Allora, definito il polinomio di Taylor come si ha che

ove Rn(x) è un infinitesimo di ordine superiore a cioè:

Espressioni per il resto
Il resto Rn(x) si può esprimere in varie forme, che possono risultare più o meno utili a seconda della necessità.


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