· Teoremi sulle derivate Teorema di Rolle: sia y=f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], e derivabile nei punti interni di tale intervallo, se la funzione assume valori eguali negli estremi a e b dell'intervallo, allora esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, in cui la derivata della funzione è nulla. Teorema di Lagrange: data una funzione y=f(x) continua nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] e derivabile nell'intervallo aperto (a,b), esiste almeno un punto c, interno all'intervallo chiuso, tale che risulti: (f(b)-f(a))/(b-a)=f '(c) Applicazioni del Teorema di Lagrange: se una funzione è continua in un intervallo I e ha derivata nulla in tutti i punti interni a I, essa è costante in quell'intervallo. Applicazioni del Teorema di Lagrange: se due funzioni f(x), f(g), continue in un intervallo I, e hanno derivate uguali in tutti i punti interni di I, esse differiscono per una costante. Funzioni decrescente e crescente: sia y=f(x) una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I. Se la derivata della funzione è sempre positiva, allora la funzione è crescente in I. Se la derivata della funzione è sempre negativa, allora la funzione è decrescente in I. Applicazioni delle Funzioni decrescente e crescente: sia y=f(x) una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I. Se f(x) è crescente in I, allora nei punti interni di I, si ha f '(x)?0. se invece f(x) è decrescente, si ha f `(x)?0. Teorema di De L'Hopital: siano date due funzioni f(x) e g(x), che supponiamo definite e derivabili in tutti i punti di un intorno di I del punto c (finito o ?), escluso al più c stesso. Supponiamo inoltre che il limite del rapporto delle due funzioni si presenti in una forma indeterminata del tipo [0/0] o [? /?] e infine sia g'(x)?0 in tutti i punti di I, escluso al più x=c. In tale ipotesi, se esiste il limite per x?c del rapporto delle derivate, allora esiste anche il limite 1 e sono =. Massimi minimi e flessi Definizione: diremo che c è un punto di massimo relativo per la funzione f(x), se esiste un intorno di c, contenuto in I, per tutti i punti x del quale si abbia f(x)?f(c), cioè se f(c) è il massimo dei valori che la funzione assume nell'intorno considerato di c: si dice quindi che f(c) è un massimo relativo della funzione. Definizione: si dice che c è un punto di minimo relativo per la funzione f(x) e che f(c) è un minimo relativo, se esiste un intorno di c, contenuto in I, per tutti i punti x del quale si abbia f(x) ?f(c), cioè se f(c) è il minimo dei valori che la funzione può assumere nell'intorno considerato del punto c. Definizione di flesso: data una funzione y=f(x), definita in un intervallo I, 1) se esiste la retta tangente al grafico della funzione nel suo punto (xo ; f(xo)), 2) se esiste un intorno (xo - ? ; xo + ?) di xo, contenuto in I, tale che, in corrispondenza ai due intorni, sinistro e destro, (xo - ? ; xo) e (xo ; xo + ?), il diagramma della funzione sti Continua »