Matematica Discreta Matematica Discreta Matrice: E' una tabella di numeri indicizzati ed è formata da righe e colonne, rispettivamente (m,n). Determinante:L'unica matrice per cui posso parlare di determinante e quella quadrata, cioè “m = n”. E' un numero associato ad una matrice quadrata secondo una certa regola. Prodotto per uno scalare: ??A cioè moltiplico per ? tutti i termini di A. Prodotto tra matrici: Si esegue moltiplicando righe per colonne. Si può esegui- re solo se le colonne della prima matrice sono tante quante le righe della seconda matrice. Il prodotto di due matrici A?B è diverso dal prodotto di B?A. Somma algebrica: Si effettua la somma algebrica termine a termine e si esegue soltanto tra matrici dello stesso ordine. Matrice identità o unitaria: E' una matrice quadrata con il numero 1 su ogni elemento della diagonale principale e 0 altrove. Matrice trasposta: E' una matrice che si ottiene scambiando le righe con le colonne. Matrice simmetrica: La matrice di partenza A è uguale alla matrice stessa trasposta. Quindi si può dire che A = At. Matrice emisimmetrica: La matrice di partenza A è uguale alla matrice stessa trasposta però negativa. Quindi si può dire che A = -At. TEOREMA Una combinazione lineare di matrici simmetriche dello stesso ordine dà sempre una matrice simmetrica di quell'ordine. Matrice inversa: E' quella matrice per cui vale la seguente regola: data una matrice A quadrata di ordine “n”, l'inversa A ? A = A ? A = In. In cui det A diverso da 0. Le uniche matrici che si possono invertire sono quelle quadrate non singolari. Regola Generale: A =? ajk ? A = 1/det A ? akj ? TEOREMA Un determinante non cambia se una riga (o colonna) è sostituita da una combinazione lineare di altre righe o colonne. Sistemi Lineari: Sono chiamati lineari in quanto tutte le incognite che lo compongo- No, sono elevate ad 1. X = Vettore colonna delle incognite. A = Matrice dei coefficienti. B = Vettore colonna dei termini noti. A ? A ? X = A ? B Proprietà dell'inversa: A ? A = In IX = A ? B Proprietà dell'identica: I ? A = A X = A ? B In questo caso troviamo le soluzioni. TEOREMA DI KRAMER Se il determinante di una matrice “A” è diverso da 0, allora esiste una ed una sola soluzione. X = A ? B (Metto la colonna dei termini noti in corrispondenza dell'incognita che calcolo) TEOREMA DI ROUCHE' - CAPELLI Si può dire che è il teorema generale, di cui fa parte anche quello di Kramer, che rappresenta un suo caso particolare. Il sistema lineare ammette una o più soluzioni se : r(A) = r(A?). Ovvero il rango della matrice dei coefficienti (A), deve essere uguale al rango della matrice ampliata con la colonna dei termini noti(A?). Caratteristica o Rango: E' l'ordine massimo dei minori, diversi da 0, estraibili dalla matrice, ovvero il numero delle righe, (o colonne), linearmente indipendenti. Il rango viene “indagato” con la regola di Kramer e vale 0 solo per matrici che hanno nullo ogni elemento. Kronecker Continua »