Calcolo combinatorio

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO Si propone di studiare cioè di costruire e stabilire il numero totale dei gruppi che si possono formare con un dato numero di oggetti, una volta fissata la legge di formazione di tali gruppi. DISPOSIZIONI SEMPLICI DI n OGGETTI Dati 2 oggetti distinti e detto K un numero intero positivo minore o uguale ad n chiamiamo disposizioni semplici di questi n oggetti, presi a K a K, o della classe K, tutti i gruppi che si possono formare con gli oggetti dati in modo che ogni gruppo contenga solo K degli oggetti dati e che due gruppi qualunque differiscano tra loro o per qualche oggetto oppure per l'ordine con cui gli oggetti sono disposti. Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti della classe K è uguale al prodotto di K numeri interi consecutivi decrescenti di cui il primo è n; cioè: Dn,k = n (n-1) (n-2) ....... (n-k+2) (n-k+1) Cioè n! Dn,k = ???? (n-k)! PERMUTAZIONI SEMPLICI DI n OGGETTI Si chiamano permutazioni semplici di n oggetti distinti le disposizioni semplici degli n oggetti presi a n a n. In altre parole le permutazioni di n oggetti distinti sono tutti i gruppi formati ciascuno da tutti gli n oggetti dati che differiscono fra loro soltanto per l'ordine degli oggetti. Pn = Dn,n = n (n-1) (n-2) .... 3x2x1 Il numero delle permutazioni semplici di n oggetti distinti è uguale al prodotto dei primi n numeri naturali. N.B. Se K è un numero intero maggiore di uno, chiamasi FATTORIALE DEL NUMERO K, e si indica con K! il numero che risulta prodotto dei primi K numeri naturali, cioè: K! = 1x2x3x……x (k-1) xK 1! = 1 Se K=1 e K=0 si pone per definizione 0! = 1 Perciò possiamo dire che il numero delle permutazioni di n oggetti distinti è dato dal fattoriale del numero n, cioè: Pn = n! COMBINAZIONI SEMPLICI DI n OGGETTI Si chiamano combinazioni semplici di n oggetti distinti, presi a K a K o della classe K (k?n), tutti i gruppi di K oggetti che si possono formare con gli n oggetti dati, in modo che i gruppi differiscono tra loro almeno per un oggetto. Evidentemente le combinazioni di classe K costituiscono una parte delle disposizioni della stessa classe. Il numero delle combinazioni semplici di n oggetti distinti della classe K è dato da una frazione che ha per numeratore il prodotto di K numeri interi consecutivi decrescenti, il cui primo è n, e per denominatore il fattoriale di K; cioè: n (n-1) (n-2) ….. (n-k-1) Cn,k = ???????????????? K! Ora supponiamo di aver scritto tutte le combinazioni della classe K degli n oggetti dati, il cui numero indichiamo con Cn,k . Se in ciascuna di queste combinazioni permutiamo i suoi K elementi, otteniamo da ognuna di esse K! gruppi e quindi in totale avremo Cn,k x K! = Dn,k gruppi. I gruppi così ottenuti sono dunque disposizioni distinte, costruite con gli n oggetti dati e della classe K. Da essa segue: Dn,k n (n-1) (n-2) …….(n-k-1) n Cn,k = ???? = ??????????????????? = K! K! K Il numero delle combinazioni di n oggetti distinti della clas Continua »