Funzioni di distribuzione e test statistici

Capitolo 3 Funzioni di distribuzione e test statistici Presentiamo in questo capitolo i concetti e gli strumenti del Calcolo delle Probabilità e della Statistica indispensabili per la costruzione e l uso di modelli di simulazione stocastica. La trattazione, che sarà necessariamente molto sintetica, è basata sul testo di Mood, Graybill e Boes [2] e su quello di Ross [6], a cui rimandiamo per approfondimenti. 3.1 Variabili casuali Uno spazio di probabilità è una tripla ( , F , P ), dove: , lo spazio campione, è un insieme di elementi (tipicamente l insieme dei possibili esiti di un esperimento); F , lo spazio degli eventi, è una famiglia di sottoinsiemi di , caratterizzata delle seguenti proprietà : i) F, ii) E F = E F , iii) A, B F = A B F ; P : F [0, 1], la funzione di probabilità, è una funzione reale avente le seguenti proprietà : i) P (E ) 0, E F , ii) P ( ) = 1, iii) (A, B F ) (A B = ) = P (A B ) = P (A) + P (B ); Dato uno spazio di probabilità, ( , F , P ), una variabile casuale è una 29 30CAPITOLO 3. FUNZIONI DI DISTRIBUZIONE E TEST STATISTICI , avente la proprietà che, per ogni reale r, : funzione X : X ( ) r F . L uso dell espressione variabile casuale non ha convincenti giusti cazioni ed è causa di ambiguità; è comunque un espressione universalmente accettata e pertanto verrà usata anche qui. : X ( ) x ) = P ( x), de nita La funzione FX (x) = P (X sull insieme dei reali, è detta funzione di distribuzione. L uso di variabili casuali è fondamentale nella simulazione stocastica. Nei sistemi da simulare si presentano usualmente fenomeni non (facilmente) prevedibili apriori (arrivo di clienti ad uno sportello, quantità di pioggia in una data stagione, guasti in un apparecchiatura, . . . ). Tali fenomeni vengono rappresentati per mezzo di variabili casuali, delle quali, per mezzo di serie storiche o di indagini campionarie, vengono studiate le funzioni di distribuzione. Vengono quindi costruiti generatori di numeri casuali, aventi le stesse distribuzioni, che verranno usati nella simulazione per modellare i fenomeni stessi. Esempio 1 Ad uno sportello di banca assumiamo che si possano fare solamente tre operazioni, incasso di un assegno (operazione a ), boni co (operazione b ) e versamento (operazione v ), e che il singolo cliente faccia una sola di esse. Consideriamo come esperimento l arrivo del prossimo cliente, come esito dell esperimento la richiesta di una delle operazioni, a, b e v , e come evento il fatto che il cliente chieda una fra un sottoinsieme delle operazioni (ad esempio o la a o la v ). Poniamo allora = a, b, v , F = 2 . Sia poi X la funzione così de nita: X (a) = 0, X (b) = 1, X (v ) = 2. La funzione X è una variabile casuale, infatti si ha: r r r r = , = a , = a, b, =. 0 1 r Continua »