Analisi 2

Anno accademico 2002/2003 Analisi matematica 2 Indice Indice 1 Integrali di funzioni di una variabile 1.1 Integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Funzioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Integrali estesi a R . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Condizioni di integrabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Relazione tra discontinuità e integrabilità . . . 1.2.2 Proprietà degli integrali delle funzioni semplici 1.2.3 Proprietà degli integrali estesi a R . . . . . . . . 1.2.4 Funzioni integrabili su un intervallo . . . . . . 1.3 Funzione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Teorema fondamentale del calcolo integrale . . 1.4 Il calcolo degli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . 1.4.3 Integrazione di funzioni razionali . . . . . . . . 1.4.4 Integrazione di funzioni irrazionali . . . . . . . 1.4.5 Integrazione di alcune funzioni trascendenti . 1.5 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Criteri di convergenza per integrali impropri . Spazi funzionali 2.1 Spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Intorni in uno spazio metrico . . . . . . . . . . 2.2 Continuità in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Continuità nello spazio metrico Rm . . . . . . . 2.3 Successioni in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Successioni e continuità in spazi metrici . . . . 2.3.3 Spazi metrici completi e successioni di Cauchy 2.4 Successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 5 5 6 9 9 13 13 14 18 19 23 24 24 26 29 31 33 34 37 37 37 37 39 40 43 43 44 45 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.4.1 Completezza di spazi funzionali . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Diametro di un sottoinsieme di uno spazio metrico 2.4.3 I teoremi di passaggio sotto il segno . . . . . . . . . . Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Spazi vettoriali normati . . . . . . . . . . . . . . . . . Spazi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Compattezza per successioni . . . . . . . . . . . . . . Spazi di Banach e di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 51 52 55 57 58 59 59 61 61 63 64 64 66 67 67 69 70 71 71 75 Continua »