analisi matematica 2

Appunti di Analisi Matematica II G. Di Fazio CAPITOLO 1 Spazi Metrici L'ambiente dei numeri reali con il quale lo studente ha familiarizzato durante il corso precedente, e molto ricco di struttura. Infatti, esso possiede la struttura algebrica di campo, di spazio vettoriale ed inoltre, in esso si pu introdurre un concetto molto importante o in Analisi che e il concetto di distanza. Grazie a questo, si introduce il concetto di limite e, attraverso questo, si introducono gli strumenti principali dell'Analisi. Tuttavia, se rimaniamo confinati nell'ambiente dei numeri reali, rischiamo di non distinguere bene in che modo le varie strutture di cui e dotato R interagiscono tra di loro. Il problema e quindi che l'insieme R, troppo ricco. e 1. Spazi Metrici e Spazi Normati Nell'insieme dei numeri reali si pu prendere in considerazione la distanza tra due o punti x, y definita come pari al numero reale non negativo x - y . Se volessimo generalizzare ad R2 potremmo porre distanza tra i punti del piano P1 = (x1 , y1 ) e P2 = (x2 , y2 ), il numero reale (x1 - x2 )2 + (y1 - y2 )2 . La distanza ottenuta e la classica distanza euclidea che si conosce dalla geometria elementare. Tuttavia, la distanza euclidea risulta, quasi sempre inadeguata per la modellizzazione e descrizione di problemi di una qualche rilevanza. Pensiamo, ad esempio, ad una citt e alla complessa rete di strade che la a attraversano. Non possiamo pensare che la distanza tra due punti e la distanza euclidea se vogliamo simulare un problema di traffico veicolare. Addirittura potrebbe capitare come di fatto accade nelle grandi citt - che punti molto vicini nel senso euclideo risula tano difficilmente raggiungibili o addirittura irraggiungibili. Un altro esempio pu essere o quello di due cime di due montagne. Se volessimo raggiungere una cima partendo dall'al tra non possiamo pensare che la distanza e la distanza euclidea perch volendo davvero e raggiungere uno dei due punti a partire dall'altro, saremo costretti a scendere da una delle due cime e poi salire sull'altra. Rendiamo adesso rigoroso quanto detto introducendo il concetto di spazio metrico. 1.1. Definizioni ed esempi. DEFINIZIONE 1.1. Sia S un insieme. Una funzione d : S S R si dice distanza o metrica in S se verifica i seguenti requisiti: 1- d(x, y) 0 x, y S ; 2- d(x, y) = 0 se e solo se x = y; 3- d(x, y) = d(y, x) x, y S ; 4- d(x, y) d(x, z) + d(z, y) x, y, z S . In tal caso la coppia ordinata (S , d) si dice spazio metrico. 3 4 1. SPAZI METRICI ESEMPIO 1.1. Qualsiasi insieme S non vuoto pu essere reso spazio metrico. Infatti o basta porre 1 x y; (1.1) d(x, y) = 0 x = y. ESEMPIO 1.2. (Cn , d) dove d(x, y) = n j=1 x j - y j 2 1/2 . L unica propriet che necessita di spiegazione e la 4). Infatti, usando la diseguagliana za di Cauchy - Schwarz si ottiene n n d2 (x, y) = j=1 x j - y j 2 = j=1 (x j - z j ) + (z j - y j )2 n = d2 (x, z) + d2 (z, y) + 2 j=1 n Re (x j - z j z j - y j ) xj - zj zj - yj j=1 d2 (x, z) + d2 (z, y) + 2 2 2 d (x, z) + Continua »