Analisi Numerica: che cos'è?

Cos'è l'analisi numerica obiettivo principale : dare una risposta numerica ad un problema matematico tramite un algoritmo (implementato su un calcolatore digitale) Aspetto metodologico: costruzione di algoritmi specifici valutazione della loro efficienza eventuale implementazione su calcolatore Aspetto di analisi: studiare i principi fondamentali, le stime degli errori, la convergenza dei metodi. Analisi Numerica 1 Problemi tipici : determinare la radice positiva dell'equazione 2 -2 =0 x x=1.414213562. determinare le coordinate del punto di intersezione fra le curve Analisi Numerica 2 Problemi tipici : Determinare la soluzione dell'equazione differenziale y = xy y ( 0) = 1 x2 y( x ) = e fissato h=0.1 x0 xi = i h y0 = 1, y1 = 1, K, y n+1 = y n + h x n y n ,LL Analisi Numerica 3 Accuratezza nel calcolo numerico Vari tipi di errore influenzano l'accuratezza del risultato: errori nel modello matematico: dovuti al fatto che nella descrizione dei fenomeni fisici vengono spesso introdotte ipotesi semplificative al fine di diminuire la complessità del modello: i gas sono supposti "perfetti", l'attrito si suppone in molti casi nullo, ecc.; errori di approssimazione o discretizzazione: dovuti al fatto di sostituire ad un processo infinito un processo una funzione finito, ad esempio quando si approssima con i primi termini del suo sviluppo in serie di Taylor, oppure si approssima un integrale definito con l'area di un plurirettangolo inscritto o circoscritto, ecc.; Analisi Numerica 4 Accuratezza nel calcolo numerico errori di arrotondamento: dovuti al fatto di usare solo un numero finito di cifre decimali errori nei dati : dovuti agli strumenti di misura, a possibili errori umani nel rilevamento di dati sperimentali e/o nella loro trascrizione ecc. Analisi Numerica 5 Errore assoluto ed errore relativo Sia a = D = D un valore approssimato per a - = = D -D D (se a 0) errore assoluto a errore relativo a -3 H sono equivalenti le scritture x =0.999 è una stima di x con un errore x=10 x = x 0.001 x - x 10-3 0.998 x 1.000 Analisi Numerica 6 a=3.1415 è un valore approssimato di e= -a=a=0.000092653. Continua »