Algebra delle Proposizioni

ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI 1.INTRODUZIONE L'algebra delle proposizioni rappresenta una teoria logica formale ed apre in modo naturale una discussione sui fondamenti della logica matematica. E' attraverso di essa che potremo affrontare lo studio dei calcoli logici. Le proposizioni che entreranno a far parte dei nostri interessi soddisferanno il principio del terzo escluso ed il principio di non contraddizione. Questo vuol dire che ogni proposizione o e' vera o e' falsa (non può quindi essere vera e falsa allo stesso tempo). Inoltre non saremo interessati al contenuto delle proposizioni e alla loro struttura, (questo vuol dire che non le analizzeremo in soggetti ed in predicati). L'unico nostro interesse sarà la proprietà di essere vere o false. Possiamo sintetizzare tutto questo dicendo che una proposizione può essere vista come una grandezza che può assumere uno dei due valori "vero" e "falso". Esempi: "Torino e' la capitale d'Italia"; "Il gatto e' un animale"; "1B: A---> B e' falsa se e solo se, A e' vera e B e' falsa. Tale operazione la diremo implicazione, A sarà l'antecedente, B il conseguente. NOTA: A---> B e' sempre vera quando A e' falsa, indipendentemente dal fatto che B sia vera o falsa. Questo vuol dire che quando A e' falsa può implicare tutto ciò che si vuole. Noi accetteremo anche questa ipotesi pur tenendo conto del fatto che nel linguaggio comune una proposizione di questo tipo non avrebbe senso. Può inoltre verificarsi che l'implicazione applicata a due proposizioni che non hanno nulla in comune produca una proposizione che nella logica detta, risulta essere vera, ma non ha alcun senso nel linguaggio comune. 4.Denotata con A la proposizione negazione di A essa viene definita da: A e' falsa quando A e' vera e A e' vera quando A e' falsa. 5.La proposizione equivalenza: A~B vera, se e solo se, A e B sono tutte e due vere o tutte e due false. Combinando operazioni del tipo precedente possiamo costruire delle nuove proposizioni conoscendo i valori delle proposizioni iniziali è possibile verificare il valore della proposizione composta. ¬? Esempi: Siano X, Y, Z tre proposizioni e supponiamo che: X sia vera, Y sia falsa, Z sia falsa. La proposizione composta X---> (Y?Z) può essere scritta nella forma V---> (F?F). Notando che (F?F) e' F e V---> F e' F la nostra proposizione composta sarà F. Siano X, Y, Z, U, T, W proposizioni tali che X è F, Y è F, Z è V, U è V, T è F, W è F, la proposizione ____________________________ (X ? Y) & ( Z---> (U---> (T~W))) può essere scritta ___________________________ (F ? F) & ( V---> ( V---> ( F ~ F))) notando che F ? F è F, F ? F è V si avrà _______________________ V & ( V---> ( V---> ( F~ F))) ancora F~ F è V , V---> V è V ___________ _____ _ V & (V---> V) = V & V = V = F Una proposizione composta, costruita a partire da proposizioni primitive con le operazioni 1), .....,5), si dice una formula dell'algebra delle proposizioni. Le proposizioni primitive possono essere delle costanti, cioè Continua »