Predicati

ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI LOGICA DEI PREDICATI INTRODUZIONE. In questo capitolo tratteremo di un altro sistema logico, la logica dei predicati, fornendone una descrizione non formale nello spirito dell'algebra delle proposizioni. Successivamente svilupperemo tale sistema in termini di calcolo assiomatico. La logica dei predicati contiene dei mezzi euristici molto potenti, che ci permetteranno di orientarci facilmente in problemi relativi ai sistemi logici assiomatici. 1.PREDICATI. La logica dei predicati si presenta come una estensione dell'algebra delle proposizioni. Essa comprende tutta l'algebra delle proposizioni cioè le proposizioni elementari, considerate come grandezze che assumono uno dei due valori V o F, tutte le operazioni dell'algebra delle proposizioni e, di conseguenza, tutte le sue formule. In più però, la logica dei predicati introduce, nello studio delle proposizioni, attributi di oggetti. In tale logica le proposizioni vengono analizzate in soggetto e predicato. Sia M un insieme di oggetti, e siano a, b, c, d oggetti qualsiasi ben definiti di tale insieme. Le proposizioni relative a questi oggetti vengono indicate nella forma P(a), Q(b), R(c,d), e così via. P(a) denota una proposizione relativa all'oggetto a, Q(b) una proposizione relativa all'oggetto b, R(c,d) una proposizione relativa agli oggetti c e d, e così via. Supponiamo ad esempio che M sia l'insieme dei numeri naturali, e le lettere a, b, c, d, siano, rispettivamente, i numeri 5, 8, 3, 1. P(a), allora, potrebbe essere, ad esempio, la proposizione "5 è un numero primo", Q(b) la proposizione "8 è un numero naturale dispari", e R(c,d) la proposizione "3 è maggiore di 1". Tali proposizioni possono essere tanto vere che false. Come nell'algebra delle proposizioni, considereremo queste proposizioni solo in quanto rappresentano la verità o la falsità, denotate, rispettivamente, dai simboli V e F. A differenza dell'algebra delle proposizioni, però, supporremo qui che i valori V e F siano relativi a oggetti o a gruppi di oggetti ben definiti. Così, negli esempi considerati, P(a) è V relativamente a 5, Q(b) è F relativamente a 8, R(c,d) è V relativamente alla coppia 3, 1. Supponiamo che M sia un insieme non vuoto qualsiasi, e x un oggetto qualsiasi di tale insieme. Allora l'espressione F(x) è una proposizione determinata quando x viene rimpiazzato da un oggetto ben definito di M. F(a), F(b) ... rappresentano delle proposizioni ben determinate. Ad esempio, se M è l'insieme dei numeri naturali, F(x) può significare: "x è un numero intero". Questa proposizione indeterminata diventa determinata quando si rimpiazza x con un numero; ad esempio: "3 è un numero intero", "4 è un numero intero", e così via. Sia S(x,y) una proposizione che significa "x è minore di y". Essa diventa una proposizione determinata quando si rimpiazzano x e y con dei numeri: "1 è minore di 3", "5 è minore di 2", ecc... . Poichè dal nostro punto di vista ogni proposizione determinata è o V o F, l'espressione F( Continua »