Integrali: definizioni

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definizione di primitiva di una funzione, di integrale indefinito, di integrale del prodotto di una costante per una funzione continua, di integrale della somma di funzioni continue, di integrale per sostituzione, di integrazione per parti (1 pagine formato doc)

INTEGRALI: DEFINIZIONI

Primitiva di una funzione. Una funzione F(x) si dice primitiva di una funzione f(x), continua e definita nell’intervallo [a;b], se F(x) risulta derivabile in tutto l’intervallo e la sua derivata coincide con f(x). La funzione f(x) viene detta funzione integrabile. Se una funzione f(x) ammette una primitiva F(x), allora ammette infinite primitive del tipo F(x) + c, con c numero reale qualunque.
Integrale indefinito. Si chiama integrale indefinito della funzione f(x), e si indica con ∫f(x) dx, l’insieme di tutte le primitive F(x) + c di f(x), con c numero reale qualunque. La primitiva F(x) che si ottiene per c=0 si chiama primitiva fondamentale. Nella formula ∫f(x) dx, la funzione f(x) è detta funzione integrando e la variabile x  variabile di integrazione. L’integrazione indefinita agisce come l’inverso della derivazione.

Primitive e integrali indefiniti: definizione ed esercizi svolti


INTEGRALI DEFINIZIONE SEMPLICE

Integrale del prodotto di una costante per una funzione continua. L’integrale del prodotto di una costante per una funzione continua è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione. ∫k f(x) dx = k ∫f(x) dx.
Integrale della somma di funzioni continue. L’integrale di una somma di funzioni continue è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni. ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx.
L’integrale per sostituzione. Si può cercare di utilizzare il metodo di sostituzione nel calcolo di un integrale, quando la funzione integranda è una funzione composta f(g(x)). Si procede nel seguente modo: 1) si pone t = g(x); 2) si calcola il differenziale di t, ossia dt = g’(x) dx; 3) si esegue la sostituzione nell’integrale di partenza, ottenendo un integrale nella variabile t; 4) si trovano le primitive F(x) + c; 5) si sostituisce nella primitiva F(t) la funzione g(x), ottenendo F(g(x)) + c.

Integrali indefiniti: definizione e spiegazione


DEFINIZIONE INTEGRALI DEFINITI E INDEFINITI

L’integrazione per parti. La formula di integrazione per parti è la seguente: ∫f(x)g’(x) dx = f(x) g(x) – ∫f’(x) g(x). Si ricava dalla regola di derivazione del prodotto di due funzioni f(x) g(x). D(f(x) g(x)) = f’(x) g(x) + f(x) g’(x). Integriamo entrambi i membri ∫D(f(x) g(x)) dx = ∫f’(x) g(x) dx + ∫f(x) g’(x) dx,  f(x) g(x) = ∫f’(x) g(x) dx + ∫f(x) g’(x) dx. Portiamo al primo membro ∫f’(x) g(x) dx: f(x) g(x) - ∫f’(x) g(x) dx = ∫f(x) g’(x) dx e scriviamo l’uguaglianza da destra a sinistra, ottenendo ∫f(x) g’(x) dx = f(x) g(x) – ∫f’(x) g(x) dx. Per applicare la formula di integrazione per parti occorre tenere presente tre problemi: 1)scegliere fra le due funzioni quella da utilizzare come g’(x); 2) determinare ∫f’(x) g(x) dx; 3) fare in modo che l’integrale ∫f’(x) g(x) dx sia facilmente calcolabile.