Sistemi lineari: tesi in matematica per ingegneria meccanica

F. Sgallari Dip.Matematica - C.I.R.A.M. Università di Bologna A.A. 2004/05 Sistemi lineari Laboratorio di Analisi Numerica Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica 1 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Sistemi lineari F. Sgallari Dipartim. Matematica C.I.R.A.M. Università di Bologna n aij x j = bi j =1 1 i m 2 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Sistemi lineari F. Sgallari Dipartim. Matematica C.I.R.A.M. Università di Bologna Ax=b Conoscendo det A 0 A-1 x = A-1 b Disponendo di un algoritmo per il calcolo di x, ricordando che A A-1 = I, trovo A-1 risolvendo n sistemi lineari 0 . e j = 1 . 0 A * j = e j PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com j=1,2n j A - 1 = [ ij ] 3 Sistemi lineari F. Sgallari Dipartim. Matematica C.I.R.A.M. Università di Bologna Metodi diretti Se non ci fossero errori di rappresentazione dei dati e di arrotondamento nei calcoli, la soluzione del sistema verrebbe calcolata esattamente (in un numero stabilito di passi). Metodi iterativi Anche nell'ipotesi che non ci siano errori di rappresentazione dei dati e di arrotondamento nei calcoli, si deve comunque operare un troncamento del procedimento, commettendo un errore. 4 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Matrici F. Sgallari Dipartim. Matematica C.I.R.A.M. Università di Bologna u11 0 U = 0 . 0 u12 u22 . . . u13 u23 u33 . . .. u1n .. u2 n .. u3 n . . 0 unn Matrice triangolare superiore (Upper) l11 l 21 L = l 31 . l n1 0 l 22 l 32 . ln2 . 0 l 33 . . 0 0 . . . 0 . l nn . . Matrice triangolare inferiore (Lower) 5 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Sistemi triangolari F. Sgallari Dipartim. Matematica C.I.R.A.M. Università di Bologna a11 x1 a x 21 1 . ai1 x1 . an1 x1 + a22 x2 . + ai 2 x2 . + a n 2 x2 = b1 = b2 .. + aii -1 xi -1 . + aii xi .. = bi . . + ani xi .. + ann xn = bn x 2 = (b2 - a 21 x1 ) / a 22 x1 = b1 / a11 . xi = (bi - ij-1 aij x j ) / aii =1 6 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Sistemi triangolari inferiori F. Sgallari Dipartim. Matematica C.I.R.A.M. Università di Bologna Sostituzione in avanti forward substitution Per i=1,2n xi = (bi - ij-1 aij x j ) / aii =1 Costo computazionale k n2 2 j =i 7 Convenzione: si ignora se k i PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Sistemi triangolari superiori F. Sgallari Dipartim. Matematica C.I.R.A.M. Università di Bologna Sostituzione all'indietro backward substitution Per i=n,n-11 xi = (bi - n=i +1 aij x j ) / aii j Costo computazionale n 2 j =i 2 Convenzione: si ignora k se k i 8 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com F. Sgallari Dipartim. Matematica C.I.R.A.M. Università di Bologna Inversa di una matrice triangolare A xk = ek xk ek k=1,2n k-esima colonna di A-1 k-esima colonna di I Si utilizza l'algoritmo di sostituzione in avanti Costo computazionale n 6 3 9 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffacto Continua »