Esercizi su i Vettori

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11 esercizi pratici per risolvere problemi sui Vettori. (3 pagine formato doc)

VETTORI VETTORI ESERCIZIO N° 1 Una persona cammina seguendo questo percorso: 3,1Km verso nord, poi 2,4Km verso ovest ed infine 5,2Km verso sud.
Costruire il diagramma vettoriale che rappresenta questo moto. Quale distanza dovrebbe percorrere, ed in quale direzione, un uccello che voli in linea retta per raggiungere lo stesso punto di arrivo ? SVOLGIMENTO Fissiamo un sistema di riferimento bidimensionale in modo tale da far coincidere l'origine degli assi con il punto A di partenza del percorso: y C B A x D Dai dati del problema si ha: AB = 3,1 j BC = -2,4 i CD = -5,2 j Il vettore AD è dato da: AD = ADx + ADy dove ADx = (ABx + BCx + CDx) i = -2,4 i ADy = (ABy + BCy + CDy) j = -2,1 j Quindi AD = -2,4 i -2,1 j AD = (ADx)2 + (ADy)2 = 10,17 = 3,2 Km La direzione si ricava da: ADy tg? = = 0,875 ADx da cui ? = 221° rispetto all'orizzontale. ESERCIZIO N° 2 Un'automobile viaggia per 50Km in direzione est, poi per 30Km in direzione nord e poi per 25Km in una direzione nord-est a 30° rispetto al nord.
Tracciare il diagramma vettoriale. Determinare lo spostamento totale compiuto dall'automobile dal suo punto di partenza. SVOLGIMENTO Scegliamo un sistema di riferimento bidimensionale in modo tale da far coincidere l'origine degli assi con il punto A di partenza: y D 30° C ? A B x Dai dati del problema si ha: AB = (50Km) i BC = (30Km) j CD = [25sen(30°)] i + [25cos(30°)] j = 12,5 i + 21,65 j Il vettore AD è dato da: AD = ADx + ADy dove ADx = (ABx + BCx + CDx) i = (50 + 12,5) i = 62,5 i ADy = (ABy + BCy + CDy) j = (30 + 21,65) j = 51,65 j Quindi AD = 62,5 i + 51,65 j AD = (ADx)2 + (ADy)2 = 81 Km Per la direzione ADy ? = arctg = 40° ADx ESERCIZIO N° 3 Un giocatore di golf in tre colpi riesce a mandare la sua palla nella buca. Il primo colpo sposta la palla di 12m verso nord, il secondo di 6m in direzione sud-est ed il terzo colpo di 3m in direzione sud-ovest. Quale spostamento sarebbe stato necessario per mandare la palla nella buca al primo colpo ? SVOLGIMENTO Fissiamo un sistema di riferimento bidimensionale in cui l'origine degli assi coincida col punto di partenza: y B C D ? x A Lo spostamento necessario per mandare la palla in buca al primo colpo è rappresentato dal vettore: AD = ADx + ADy dove ADx = (ABx + BCx + CDx) i ADy = (ABy + BCy + CDy) j Dai dati del problema si ottiene: AB = 12 j BC = 6cos(45°) i - 6 sen(45°) j = 4,24 i - 4,24 j CD = -3cos(45°) i -3sen(45°) j = -2,12 i -2,12 j Da ciò si ricava: AD = 2,12 i + 5,64 j AD = (ADx)2 + (ADy)2 = 6m Per la direzione: ADy ? = arctg = 70° rispetto all'orizzontale. ADx ESERCIZIO N° 4 Un uomo desidera raggiungere una località situata a 3,4Km di distanza dal luogo dove attualmente si trova, in direzione nord-est con un angolo di 35° rispetto a nord. Egli si trova costretto però a percorrere strade che possono avere solo due direzioni: o nord-sud, oppure est-ovest. Qual è la minima distanza che l'uomo dovrebbe percorrere per raggiungere la destinazione ? SVOLGIMENTO Indichiamo con A il punto di partenza e con B