Analisi matematica 2

Appunto inviato da leonessaele
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appunti di 9 teoremi fondamentali con dimostrazione:TEOREMA DI FERMAT, DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE, DI SCHWARTZ, SUI CAMPI VETTORIALI... (5 pagine formato doc)

TEROEMA DI FERMAT: sia un punto di massimo o di minimo relativo per f, esterno ad A TEOREMA DI FERMAT: sia un punto di massimo o di minimo relativo per f, esterno ad A.
se f è differenziabile in , risulta: , DIMOSTRAZIONE: se , è un punto di massimo relativo per f interno ad A esiste un tale che: , S . Consideriamo ora l'equazione vettoriale della retta passante per e di direzione , con t. Poiché è un punto di massimo relativo per f, ne segue che t=0 è un punto di massimo relativo per la funzione: e di conseguenza: o=F'(0)=. Ma è una direzione arbitraria e quindi, scelta , con 1= 1,2,…,n ne consegue l'asserto. TEOREMA DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE: Siano f,g: , con A aperto di ed f,g.
Se: i) C è il luogo degli zeri di g, i.e.: C= Zg=. ii) allora i punti di massimo e di minimo relativo vincolati per f, con vincolo C, qualora esistano, soddisfano il sistema*: per opportuni valori dei parametri ? (detto moltiplicatore di Lagrange). DIMOSTRAZIONE: le ipotesi consentono di applicare il teorema del Dini e quindi C è localmente grafico cartesiano di classe . Inoltre, sia un punto di massimo relativo vincolato per f e: , con una parametrizzazione di C in un intorno di , tale che: . Allora la funzione composta: ha un massimo relativo nel punto e quindi: . Indicando poi con G(t)=g(x(t),y(t)), si ha anche: dal momento che: G(t)=g(x(t),y(t)=0, è una parametrizzazione locale di C che è il luogo degli zeri di g. Le ultime due formule ci dicono che i vettori: sono ortogonali al vincolo nel punto (infatti sono ortogonali al vettore tangente che è . Di conseguenza, esiste tale che:(ossia la *). In maniera analoga si pone il teorema nel caso in cui il punto sia di minimo relativo vincolato per la f. TEOREMA DI SCHWARTZ: sia , aperto e . Se , risulta: , . DIMOSTRAZIONE: ragioniamo per assurdo e supponiamo esista un punto ?A tale che: . Poiché , la funzione: e continua su A e quindi, per il teorema di permanenza del segno, esiste un rettangolo R=[a,b]x[c,d] di centro tale che: h(x,y)>0, , cioè: ,. Applichiamo ora le formule di riduzione di Dirichlet, risulta: f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c) ed anche: e quindi: il che è assoluto in quanto una funzione continua è strettamente positiva su ha integrale strettamente positivo. TEOREMA SUI CAMPI VETTORIALI: sia un campo vettoriale di classe . Se ammette un potenziale su A, allora: per ogni curva regolare ? (o regolare a tratti), con sostegno contenuto in A, che abbia come primo estremo e come secondo sostegno. DIMOSTRAZIONE: siano: , con le equazioni parametriche di ?. Per TEOREMA (condizione necessaria per i campi di classe C') sia un campo vettoriale di classe. Se è conservativo, allora: in A. DIMOSTRAZIONE: poiché è conservativo esiste una funzione tale che: e in A. derivando la prima in questa funzione rispetto ad y e la seconda rispetto ad x, si ottiene: e in A. ma la funzione e sono continue in A (infatti ?) e quindi, per quest'ultima funzione, le derivate seconde miste di sono continue su A. ciò implica, per il