Teoremi e definizioni analisi matematica 2

Appunto inviato da leonessaele
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Di seguito tutti i teoremi utili e le definizioni da sapere all'esame di analisi matematica (5 pagine formato doc)

LIMITI E CONTINUITA': DEFINIZIONE: sia e un punto di accumulazione per A LIMITI E CONTINUITA': DEFINIZIONE: sia e un punto di accumulazione per A.
si dice che è il limite di f, per che tende a su A e si scrive: con se . Teorema dell'unicità del limite: sia e punto di accumulazione per A. se f ammette limite, per che tende a su A, questo è unico. Teorema 2: sia e punto di accumulazione per A. se B?A e è punto di accumulazione per B, allora vale la seguente implicazione: se con allora con . DEFINIZIONE: sia e?A un punto di accumulazione per A. Se: con si dice che f è continua in . Se quanto detto sopra si verifica per ogni punto ?A.
si dice che f è continua su A. Teorema (continuità della funzione composta):sia e . Se f è continua in ?A e g è continua in allora la funzione composta: - è continua in ?A. DEFINIZIONE: la funzione f si dice derivabile nel punto nella direzione e la funzione F è derivabile nel punto t=0. In tal caso si scrive: . DEFINIZIONE: sia , A aperto e f si dice differenziabile nel punto se esiste un'applicazione lineare: - tale che: , ovvero, ricordando la caratterizzazione delle applicazioni lineari: .Teorema: sia , con A aperto. Se f è differenziabile nel punto , allora: i) f ha derivata in ogni direzione nel punto e: (10)dove . In particolare nella (10) segue che se , risulta: ,c on j=1,…n. Teorema del differenziale totale: sia , con A aperto e . Se f ammette derivate parziali in A e se tali derivate sono continue nel punto , allora f è differenziabile in tale punto. MASSIMI E MINIMI: Teorema di Shwarz o dell'invertibilità dell'ordine di direzione) Sia , A aperto e ?A. Se le derivate parziali miste esistono in un intorno I() e sono continue in ,allora: . DEFINIZIONE: un puntosi dice punto di massimo relativo (risp. minimo relativo) per f se esiste ?>0 tale che: (1). Se si richiede che la 1 valga per ogni , si parla si massimo assoluto (risp. minimo assoluto) di f su A. (segue teor. Di Fermat). DEFINIZIONE: sia , con A aperto di e . Si dice matrice Hessiana di f, relativa al punto la matrice: per il teor. Di Schwarz la matrice è simmetrica perché le due derivate miste sono uguali. Teorema test dell'Hessiana: sia , a aperto di e punti critici per f. la matrice Hessiana di f in è: . Allora: se ?p.to di min. relativo se: ?p.to max rel. Se: det H 0 tale che ). Sia inoltre una partizione P di A in insiemi misurabili, aventi al più il lato in comune, cioè: . Poniamo inoltre: . DEFINIZIONE: si dice somma superiore di f relativa alla partizione P assegnata il numero: . DEFINIZIONE: si dice somma superiore di f relativa alla partizione P assegnata il numero: . DEFINIZIONE: si dice che f è integrabile in A se: . DEFINIZIONE: siano ?(x) e ?(x) due funzioni continue definite su un intervallo [a,b], con: ?(x)??(x), ?x?[a,b]. Il sottoinsieme , definito da: si dice dominio normale rispetto all'asse x. Analogamente se ?(y) e ?(y) sono due funzioni continue definite su un intervallo [c,d], con ?(y)??(y),?y?[c,d], il sottoinsieme , defin