Teorema di Bernoulli

Teorema Di Bernoulli Teorema Di Bernoulli Dimostrazione   Si consideri un fluido ideale in regime stazionario lungo un tubo di flusso di sezione variabile, nel campo della gravità. Fissato un sistema di riferimento cartesiano con origine in O, costituito dall'asse verticale z, rivolto positivamente verso l'alto, consideriamo una porzione di volume di fluido compresa tra la sezione normale AB, di superficie dS1, con centro posto alla quota z1 e avente velocità v1 e pressione p1, e la sezione normale CD, di area dS2, con centro posto a quota z2, ove v2 e p2 sono rispettivamente velocità e pressione lungo tale sezione (v. fig.1).     Assumiamo che nel tubo di flusso le velocità non varino da punto a punto della stessa sezione normale e che non si generino movimenti vorticosi per azione di variazioni brusche di sezione e direzione.   Forze in gioco   La massa fluida della zona ABCD all'istante t si muove per azione delle forze di volume (per ipotesi la sola forza di gravità), e delle forze di superficie agenti sulle superfici di base del volumetto dS1 e dS2, da parte del fluido esterno al volume ABCD. Se il fluido è ideale(1) non sono presenti sforzi di taglio generati per attrito interno sulla superficie tubolare laterale, ma sforzi normali da parte del fluido esterno. Per effetto di questi il fluido che, all'istante t, occupava il volume ABCD, occuperà il volume A'B'C'D' all'istante (t+dt). Per l'equazione di continuità, la massa dm1 relativa al volume ABA'B' è uguale alla massa dm2 contenuta nel volume CDC'D'. Posto ? la massa volumica del fluido perfetto, deve risultare: applicazione del teorema energia - lavoro Consideriamo la variazione di configurazione realizzatasi nell'intervallo dt. Il lavoro compiuto dalla forza di gravità poichè la massa contenuta nel volume A'B'CD non cambia quota è pari a quello relativo allo spostamento di una massa dm dalla quota z1 alla quota z2. Tale lavoro vale:     Per calcolare il lavoro delle forze di superficie, indichiamo con n1 e n2 i versori delle normali a dS1 e dS2, orientate positivamente verso l'interno della massa fluida. Le forze agenti su dS1 e dS2 possono, dunque, esprimersi come:     e i lavori compiuti da esse sono rispettivamente:     Il segno meno nella seconda relazione della (4) è dovuto al fatto che lo spostamento v2dt è di verso opposto alla normale n2. Il lavoro delle forze di superficie, esercitate verso l'interno del volume ABCD sulle sezioni dS1 e dS2 da parte del fluido esterno vale:     Il lavoro delle forze di superficie sul mantello tubolare è nullo perchè su questo le forze sono ovunque ortogonali agli spostamenti. La variazione di energia cinetica interve-nuta nell'intervallo di tempo dt, per la stazionarietà del moto, risulta(2):     Tenendo conto delle (2), (5) e (6), il teorema energia-lavoro(3) (dW(g)+dW(S) = dK) assume la seguente forma:   In virtù della (1), dividendo per dm e moltiplicando per ? ambo i membri della (7), otteniamo la seguente relazione:   Poichè la (8) sussis