Moto vario nelle condotte in pressione

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Spiegazione del moto vario nelle condotte in pressione: oscillazioni di massa, oscillazioni elastiche (o di pressione), cassa d'aria (11 pagine formato doc)

MOTO VARIO NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE

Moto vario nelle condotte in pressione.

L’impianto in figura consta di una galleria in pressione, di un pozzo piezometrico e di una condotta forzata, che, sfruttando l’energia cinetica dell’acqua, con una turbina posta all’estremità, produce corrente elettrica.

Quando l’otturatore della turbina viene chiuso, con un tempo pressoché istantaneo, nella condotta forzata vengono a formarsi oscillazioni elastiche o di pressione che si propagano fino all’imbocco della condotta. Esse si esauriscono in un tempo pressoché uguale alla manovra di apertura dell’otturatore.
La portata d’acqua che dal serbatoio continua a defluire verso la condotta urta istantaneamente contro la massa d’acqua ferma nella condotta. L’acqua in eccesso viene ad alimentare il pozzo piezometrico, che funge quindi da polmone per l’impianto.  Nella galleria in pressione vengono quindi a formarsi onde di massa, di una durata molto maggiore rispetto a quelle elastiche. Sono spostamenti rigidi di massa tra il pozzo piezometrico e il serbatoio di monte e continuano finchè tutta l’energia cinetica dell’acqua che defluisce dal serbatoio, non viene dissipata dalle resistenze idrauliche.

La pressione nei fluidi: spiegazione

MOTO VARIO, MECCANICA DEI FLUIDI

OSCILLAZIONI DI MASSA: per lo studio delle oscillazioni di massa adoperiamo l’equazione indefinita  di continuità per le correnti i) e l’equazione del moto ii):
Dalla prima si deduce che  , mentre dalla seconda.
Introducendo la formula di Darcy-Weisebach nella i) e integrando lungo la galleria in pressione, abbiamo:

Dall’equazione di continuità sappiamo pure che:  , da cui si ricava :
Introducendo la iv) nella iii) si ottiene:
La v) non è direttamente risolvibile per via analitica, se non sfruttando il metodo delle differenze finite. Il termini mediano rappresenta le resistenze idrauliche, sempre opposte al verso del moto.
Ipotizzandole nulle (in prima approssimazione) si ottiene un’equazione differenziale del sercond’ordine del tipo:
Imponendo che   allora la vi) fornisce la soluzione esatta:
La vii) rappresenta la funzione delle oscillazioni di massa che si verificano  nella galleria in pressione.

CASSA D'ARIA

OSCILLAZIONI ELASTICHE (O DI PRESSIONE):
Per studiare questo tipo di oscillazioni, ci rifacciamo alla definizione di celerità, ossia la rapidità di propagazione di una perturbazione in una definita direzione s; in particolare, possiamo, definire:
con F la funzione F=F(s,t) che descrive la perturbazione; la celerità, definita come ds/dt, per le condotte in questione si aggira intono ai 1000 m/s, per cui dal rapporto summenzionato possiamo vedere che  
Ora, per studiare le oscillazioni perturbatrici, poniamo, in via iniziale, alcune approssimazioni:
Se scriviamo l’equazione del moto possiamo vedere che:
In virtù della viii) e della ix), la x) si riscrive:
Che viene definita come l’Equazione del moto delle onde elastiche.
Dall’equazione i) di continuità delle correnti, possiamo dedurre:
che, in virtù delle considerazioni dianzi dette e delle ipotesi introduttive, si riscrive come: