Sintesi di analisi matematica

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Analisi matematica I Analisi matematica Calcolo combinatorio Disposizioni semplici Dn,k=n(n-1)(n-2).....(n-k+1)= (0? k ?n) diff.
Per un elemento o per l'ordine con ripetizione Drn,k=nk k?N0 diff. Per due el. Dist. Che occupano lo stesso posto Permutazioni semplici Pn=Dn,n=n ! elementi ripetuti Combinazioni semplici diff. Per un elemento con ripetizione Stifel ricorrenza Limiti Per il calcolo dei limiti ( x tende ad un numero finito o all'infinito ), si utilizzano le formule seguenti quando sono noti i limiti finiti l e m. Noti: lim f(x)=l e lim g(x) = m Nei casi esclusi dalle regole precedenti o per limiti infiniti si possono applicare le seguenti relazioni formali. Somma: Prodotto: Vale la regola dei segni.
Quoziente: Esponenziale: Logaritmo: Limiti notevoli Forme indeterminate 1,2) si applica la formula di De L'Hopital Per le funzioni razionali fratte con 3) Si riconduce al caso 4,5,6) Si trasforma usando 7) Si riporta ad uno dei precedenti casi: Se ci sono radicali si può razionalizzare: si moltiplica e si divide per lo stesso fattore, che elimina la differenza (o somma) fra radicali; ad es. se la funzione è del tipo , si moltiplica e si divide per Derivate y = c y' = 0 y = logx = lnx y = xn y' = nxn-1 y = ax y' = ax loga y = senx y' = cosx y = ex y' = ex y = cosx y' = -senx y = arc senx y = tgx y = arc cosx y = ctgx y = arc tgx y = arc cotgx y = logax Dc = 0 Funzione potenza D x = 1 Funzioni goniometriche D senx = cosx D cosx = -senx Funzione logaritmica Funzione esponenziale D ax = ax ln a D ex = ex Inverse delle funzioni goniometriche Funzioni iperboliche D shx = chx D chx = shx Regole di derivazione D kf(x) = kf'(x9 D [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) D [f(x) ? g(x)] = f'(x) ? g(x) + g'(x) ? f(x) D f[g(x)] = f'[g(x)] ? g'(x) Studio di funzione Affinché una funzione y = f(x) sia continua nel punto x = c devono verificarsi contemporaneamente le seguenti condizioni: esistenza del valore della funzione per x = c; esistenza del limite finito l della funzione per x ? c (cioè ); coincidenza tra l e f(c). Quando anche una sola delle tre condizioni non è verificata si dice che la funzione è discontinua e che x = c è un punto di discontinuità per la funzione (o anche punto singolare). Punti di discontinuità di prima specie Si dice che per x=c la funzione y = f(x) ha un punto di discontinuità di prima specie, quando esistono e sono finiti e diversi tra loro i limiti dalla destra e dalla sinistra della funzione, a prescindere dall'eventuale valore della f(x) per x = c Punti di discontinuità di seconda specie Si dice che per x=c la funzione y = f(x) ha un punto di discontinuità di seconda specie, quando non esiste, o non esiste finito, uno almeno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di c. Punti di discontinuità di terza specie Si dice che per x=c la funzione y = f(x) ha un punto di discontinuità di terza specie o eliminabile, quando esiste finito, il limite per x ? c di f(x), ma f(c) o non esiste o è diversa dal valore del limite. Grafico probabil