9 Esercizi per statistica e probabilità

MATEMATICA B Raccolta di esercizi sul teorema di Bayes da temi d'esame di matematica b ESERCIZIO 1 Tra i partecipanti ad un concorso per giovani compositori il 50 % suona il pianoforte, il 30% suona il violino e il 20% la chitarra. Partecipano ad un concorso per la prima volta il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti e il 10% dei chitarristi. Applicando i concetti di probabilita' condizionata e il teorema di Bayes, rispondere alle seguenti domande. Qual è la percentuale di aspiranti compositori alla prima esperienza? Sapendo che ad esibirsi per primo sarà un compositore alla prima esperienza, qual è la probabilità che sia un chitarrista? Soluzione P={pianisti} V={violinisti} C={chitarristi} I={musicisti al primo concorso} dati f(P)=0.50, f(V)=0.30, f(C)=0.20 f(P)+f(V)+f(C)=1 f(I|P)=0.10, f(I|V)=0.33, f(I|C)=0.10 f(I)=f(I|P)f(P)+f(I|V)f(V)+f(I|C)f(C)=0.10 0.50+0.33 0.30+0.10 0.20=0.17 =0.12 ESERCIZIO 2 Un gruppo di escursionisti organizza una gita in montagna. Il 30% dei partecipanti e' fuori allenamento. Si ipotizza che coloro che non sono allenati abbiano una probabilita' di raggiungere la meta pari al 60% e che quelli allenati abbiano una probabilita' pari al 95%. Qual e' la probabilita' che un escursionista scelto a caso nel gruppo raggiunga la meta? Sapendo che un escursionista ha raggiunto la meta, con quale probabilita' appartiene al gruppo degli escursionisti allenati? Soluzione FA={escursionisti fuori allenamento} A={escursionisti allenati} NM={escursionisti che non raggiungono la meta} M={escursionisti che raggiungono la meta} Dati f(FA)=0.30 f(A)=1-f(FA)=0.70 p(M|FA)=0.60 p(M|A)=0.95 p(M)=p(M|FA)f(FA)+p(M|A)f(A)=0.60 0.30+0.95 0.70=0.85 =0.79 ESERCIZIO 3 Tra i villeggianti di una localita' di mare, il 75% trascorre le vacanze sempre nello stesso posto, il 25% solo saltuariamente. Il 60% dei villeggianti abitudinari possiede una casa e cosi' il 10% dei villeggianti saltuari. Sapendo che un villeggiante scelto a caso possiede una casa, con che probabilita' si tratta di un abitudinario? Soluzione A={villeggianti abitudinari} S={villeggianti saltuari} C={villeggianti che posseggono una casa} NC={villeggianti che non posseggono una casa} Dati f(A)=0.75 f(S)=0.25 f(C|A)=0.60 f(C|S)=0.10 =0.95 ESERCIZIO 4 Un autobus di linea effettua il collegamento tra due stazioni A e B seguendo 2 percorsi alternativi 1 e 2. La frequenza con cui segue il primo percoso e' pari a 0.3, quella con cui segue il secondo e' pari a 1 - 0.3 = 0.7. Un gruppo di pendolari riesce a prendere il suddetto autobus con probabilita' pari a 0.25 quando questo percorre il tragitto 1 e con probabilita' 0.65 quando questo percorre il tragitto 2. Sapendo che il gruppo di pendolari non e' riuscito a prendere l'autobus, con che probabilita' esso ha seguito il percorso 1? Soluzione 1={autobus che segue il percorso 1} 2={autobus che segue il percorso 2} A={pendolari che riescono a prendere l'autobus} B={pendolari che non riescono a prendere l'autobus} Dati f(1)=0.3 f(2)=0.7 p(A|1)=