Controlli Automatici 1: sistemi del primo ordine.

Appunti di "Controlli Automatici 1" Sistemi dinamici lineari del 1 ordine Introduzione . 1 Risposta al gradino unitario . 1 Risposta alla rampa . 2 Esempio. 3 Esempio. 4 INTRODUZIONE Si definisce sistema (elementare) del primo ordine un sistema (lineare tempo-invariante) che sia caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma seguente: H (s) = 1 1 + s Si tratta cioè di una funzione razionale strettamente propria avente il denominatore di 1 grado. La costante di tempo è quella, come si vedrà in seguito, che caratterizza il comportamento dinamico del sistema. Essa determina anche l'unico polo della funzione H(s), che è s1/. RISPOSTA AL GRADINO UNITARIO Per studiare il comportamento di un simile sistema, lo si eccita mediante uno dei segnali canonici (gradino, impulso, rampa e rampa parabolica). Per esempio, supponiamo di porre in ingresso al sistema il gradino unitario x(tH(t): la sua trasformata di Laplace è 1/s per cui, nell'ipotesi di condizioni iniziali nulle, l'uscita (forzata) assume l'espressione Y(s) = H (s)X (s) = 1 s(1 + s) Antitrasformando questa funzione, otteniamo l'andamento dell'uscita (forzata) nel tempo: - 1 1 - A B y( t ) = 1 - e =+ =+ Y (s) = s(1 + s) s 1 + s s 1 + s t da cui si comprende quanto detto prima a proposito della costante . L'andamento nel tempo di y(t) è del tipo raffigurato nella figura seguente, dove la scala dei tempi (in ascisse) è stata normalizzata in rapporto alla costante di tempo : Appunti di "Controlli Automatici" y(t) 1 5 t Quando t=, la risposta assume un valore pari al 63.2% del valore finale di regime, che si raggiunge approssimativamente dopo 5; per t=2, il valore è pari all'86.5% del valore finale, mentre per t=3 si passa al 95% . Si definisce tempo di assestamento del sistema il tempo necessario perché y(t) rimane entro il 5% del valore finale. Analiticamente, il tempo di assestamento corrisponde all'istante tS che verifica la condizione 5 y( ) - y ( t S ) = 100 Nel nostro caso, sostituendo l'espressione di y(t), abbiamo quanto segue: t - t y( ) = lim 1 - e = 1 -S 5 t e = 100 tS - y( t S ) = 1 - e t S = 3 Abbiamo dunque trovato che il tempo di assestamento di un sistema del 1 ordine è pari a circa 3. Per t=5, come detto, l'uscita raggiunge il 99.3% del valore di regime, mentre, per t=7, si arriva al 99.91%. E interessante osservare che, se calcoliamo la quantità yt=0), otteniamo la velocità con cui parte la risposta (corrispondente alla tangente ad y(t) nell'origine): t t d - 1 - 1 y t = 0) = 1 - e = e = t=0 t=0 dt Quindi, la velocità con cui parte la risposta del sistema ad un gradino unitario è il reciproco della costante di tempo (e corrisponde dunque al valore assoluto del polo della funzione di trasferimento): ciò significa che la risposta parte tanto più velocemente quanto minore è . RISPOSTA ALLA RAMPA Vediamo adesso cosa succede applicando in ingresso al sistema non più il gradino unitario, bensì la rampa unitaria x(th(t)r(t): la su