Equazioni, disequazioni e sistemi

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Politecnico di Torino CeTeM Corso Propedeutico di Matematica 4 Equazioni, disequazioni e sistemi Sommario Esercizi EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale.
Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo costituiscono l insieme degli zeri della funzione: determinarli significa risolvere l equazione, nell'incognita x, f ( x ) = 0. Gli elementi del dominio per cui f assume un prefissato valore reale k costituiscono l insieme di livello k della funzione. L insieme di positività della funzione è costituito dall'insieme degli x del dominio di f per cui risulta f ( x ) 0 , che è una disequazione nell'incognita x. Analogamente si possono considerare l insieme di negatività, definito da f(x) g( x ) (2) (x dom f dom g ) si trasforma in una disequazione equivalente aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri una medesima funzione definita in R.
Dalla (2) si ottiene una disequazione equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una medesima funzione definita in R e strettamente positiva. Moltiplicando o dividendo ambo i membri della (2) per una funzione h(x) definita in R e strettamente negativa si ottiene la disequazione equivalente f ( x ) h( x ) g ( x) h( x) . Analoghe considerazioni possono essere fatte per disequazioni in cui compaiono simboli , , oppure . ESEMPI Equazioni e disequazioni di primo grado Un'equazione di primo grado ha la forma ax + b = 0 , dove a, b R. se a 0 l'equazione è determinata ed ha la soluzione x = - b ; a se a = 0 e b 0 l'equazione non ha soluzioni e viene detta impossibile; se a = 0 e b = 0 l'equazione è soddisfatta per qualsiasi valore di x e viene detta identità. Politecnico di Torino Data ultima revisione 10/05/00 Pagina 2 di 12 Politecnico di Torino CeTeM Corso Propedeutico di Matematica 4 Equazioni, disequazioni e sistemi Sommario Esercizi Graficamente l'equazione ax + b = 0 rappresenta il punto di intersezione (se a0) tra la retta y = ax + b e l'asse delle ascisse. 1. Determinarne l'insieme degli zeri e l'insieme di positività della funzione f ( x ) = -3x + 2 . Interpretare graficamente i risultati ottenuti. 2 Per determinare l'insieme degli zeri di f risolviamo l'equazione f ( x ) = 0 -3x + 2 = 0 x = 3 2 Per determinare l'insieme di positività di f risolviamo la disequazione f ( x ) 0 -3x + 2 0 -3x -2 x 3 La retta ha un solo punto di intersezione con l'asse x P = (2/3,0 ). Il grafico di f si svolge al di sopra dell'asse delle ascisse per tutti gli x2/3). 20 y3x+2 15 Insieme di positività 10 intersezione con asse x 5 P2/3,0) 0 -5 -10 -15 -3 -2 -1 0 1 2 3 Politecnico di Torino Data ultima revisione 10/05/00 Pagina 3 di 12 Politecnico di Torino CeTeM Corso Propedeutico di Matematica 4 Equazioni, disequazioni e sistemi Sommario Esercizi Equazioni e disequazioni di secondo grado Un'equazione di secondo grado ha la forma ax 2 + bx + c = 0 , dove a, b,c R, con a0. L'espressione = b 2 - 4ac è detta discriminante. Abbiamo 3 casi po