Reti correttrici

Appunti di "Controlli Automatici 1" Le reti correttrici Introduzione . 1 Rete integratrice . 1 Rete derivatrice . 4 Rete ritardatrice phase lag") . 7 Rete anticipatrice phase lead") . 10 Rete ritardo-anticipo lead-lag") . 13 INTRODUZIONE I procedimenti di analisi basati sull'analisi armonica (diagrammi di Bode e diagrammi di Nyquist, criterio di stabilità di Nyquist) e sul luogo delle radici, trovano la loro più frequente applicazione, nell'ambito dei controlli automatici, per la progettazione dei dispositivi di correzione della risposta. Questi dispositivi vengono comunemente chiamati retti correttrici, generalizzando una denominazione propria dei sistemi con amplificazione elettronica o elettromeccanica, in cui la correzione viene in effetti generalmente realizzata con speciali reti o circuiti elettronici. Le reti correttrici più frequentemente impiegate nei sistemi di controllo con amplificazione elettronica sono a resistenze e capacità. Le stesse funzioni di trasferimento di tali reti si possono peraltro ottenere, in sistemi di controllo con amplificazione pneumatica o idraulica, con analoghi sistemi di strozzature e serbatoi o con sistemi meccanici (molle e ammortizzatori). RETE INTEGRATRICE Una rete integratrice è fatta nel modo seguente: R + vI(t) - i(t) C + vO(t) - Per prima cosa, ricaviamo la funzione di trasferimento di questo sistema: cominciando la nostra analisi nel dominio del tempo, possiamo scrivere, applicando le leggi classiche dell'Elettrotecnica, che Appunti di "Controlli Automatici 1" t t v O (t) = v C (t) = 1 1 i C (T)dT = C i(T)dT C0 0 dove abbiamo ovviamente supposto nulle le condizioni iniziali (cioè la tensione iniziale sul v (t) - v O (t) condensatore). Considerando inoltre che i( t ) = I , possiamo scrivere che R v O (t) = 1 v I (t ) - v O (t) dT C R 0 t Se adesso passiamo al dominio di Laplace, abbiamo che VO (s) = Y(s) VO (s) 1 1 1 VI (s) - v O (s) = = G (s) = U(s) VI (s) 1 + sRC Cs R 1 , dove la costante di 1 + s tempo è = RC . Abbiamo dunque a che fare con un sistema del 1 ordine e di tipo 0, ossia senza poli nell'origine. Il luogo delle radici di questo sistema, nell'ipotesi di porlo in cascata ad un sistema (generalmente un controllore) caratterizzato da una funzione di trasferimento GC(sK e di chiudere il tutto in un anello di retroazione unitaria, è il seguente: La funzione di trasferimento della rete è dunque nella forma G (s) = Im - 1 1 =- RC Re Ci chiediamo, per prima cosa, il motivo per cui questo circuito elettrico viene definito rete integratrice: è evidente che, se la caduta di tensione sul condensatore è trascurabile rispetto a v (t ) quella sul resistore, si può scrivere che v I ( t ) v R ( t ) = Ri( t ) , da cui i( t ) I e quindi anche R v O (t) t t 1 1 v I (t) dT = v I ( t )dT C R RC 0 0 11 VI (s) : abbiamo cioè un segnale di uscita (la RC s tensione sul condensatore) pari all'integrale del segnale di ingresso, ossia abbiamo un integratore ideale. che nel dominio di Laplace diventa VO (s) Autore: San