Dominio di funzioni di due variabili

Appunto inviato da valeriaobesi
/5

Note in linguaggio semplice e diretto relative al dominio delle funzioni di 2 variabili (2 pagine formato doc)

Dominio di funzioni di due variabili, piccolo vademecum per "negati"

  • In caso di funzioni lineari, esponenziali e senza logaritmi o radici automaticamente poni l'intera funzione come verificata in tutto R^2.
    Se sono fratte devi considerare il denominatore, il quale sugli assi cartesiani si rappresenta come una semplice conica: circonferenza, iperbole, parabola o ellisse.
    Facciamo un esempio:
  • CIRCONFERENZA: 2x/sqrt x^2+y^2+1 Abbiamo al denominatore una radice.
    Pertanto dovrai porre tale denominatore, che è argomento della radice, come strettamente maggiore di zero (non maggiore o uguale come fosse lineare, dato che il denominatore uguale a 0 non ha senso).
    Inoltre dato che i due coefficienti di secondo grado sono uguali, intuisci che è una circonferenza, in questo caso avrà centro nell'origine e raggio pari a 1. (raggio che calcolerai intersecando la circonferenza in questione con l'asse delle x, ovvero y=0).
    Disegna la circonferenza e dato che la disequazione ti impone che deve essere strettamente maggiore di zero, dovrai tratteggiare il contorno della circonferenza in quanto esso, che è uno 0, non sarà compreso nel dominio, come non sarà compresa la parte interna alla circonferenza, in quanto minore di zero. Apparterrà invece al dominio lo spazio di piano circostante la circonferenza.
  • ELLISSE: sqrt(x^2+2y^2-1). In questo caso il dominio della funzione è dato dall' argomento della radice. Pertanto porrai tale argomento come maggiore o uguale a zero: l'uuguaglianza con lo zero qui ha senso perchè trattasi di una funzione lineare, non fratta.
    L'argomento altro non è che l'equazione di una ellisse: lo capisci perchè hai i coeff. di secondo grado diversi e divisi da un segno più. Devi ridurre tale ellisse in forma canonica dividendo la tua equazione per uno, avendo così x^2+y^2/1/2 + 1, sarà una ellisse con semiasse maggiore pari a uno sull'asse x e semiasse minore pari a sqrt1/2 sull'asse y. Visto che la condizione impone maggiore o uguale a zero, rappresenterai la ellisse con il contorno continuo, e nel dominio sarà esclusa la sua parte interna e compreso il piano che la circonda.