Problema di Cauchy

Appunto inviato da valeriaobesi
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Note sintetiche con spiegazione semplice e passo dopo passo per risolvere un problema di Cauchy (1 pagine formato doc)

Problema di Cauchy passo dopo passo - Piccolo vademecum per "negati"

  1. Abbiamo una equazione differenziale a variabili separabili in forma normale.
    Consideriamo i due membri: il primo lo chiameremo b(y) - che di fatto sarà quello che conterrà la variabile y - e il secondo lo chiameremo a(x), e conterrà la variabile x.
  2. I due membri altro non sono che funzioni: avranno perciò un insieme di definizione. Troviamo l'insieme di definizione di b(y) come in una normalissima funzione di una variabile: tale dominio prenderà il nome di derivabilità, e l'insieme rispetto al quale è definito sarà chiamato I (i maiuscolo). Facciamo lo stesso con il membro a(x): stavolta il dominio sarà chiamato continuità, e l'insieme rispetto al quale è definito sarà chiamato J
  3. Abbiamo una condizione iniziale: essa ci viene espressa con la sua coordinata in y.
    Per far sì che tale condizione si accettabile dobbiamo verificare che la coordinata in y sia interna all'insieme di definizione di b(y) prima stabilito, e che la sua coordinata in x (che porremo come x=0) sia interna all'insieme di definizione di a(x). Se tale condizione è soddisfatta, allora esiste una ed una sola soluzione che risolve il problema.
  4. Per stabilire se la soluzione verificante il problema sia proprio la condizione iniziale, dobbiamo sostituire tale condizione nella b(y). Se ad esempio tale condizione sarà indicata come y(0)=-1 noi calcoleremo b(-1). Se la b(-1) risulterà = 0, allora la soluzione particolare cercata coinciderà con -1.