Problema di Cauchy
Note sintetiche con spiegazione semplice e passo dopo passo per risolvere un problema di Cauchy (1 pagine formato doc)
Problema di Cauchy
passo dopo passo - Piccolo vademecum per "negati"
- Abbiamo una equazione differenziale a variabili separabili in forma normale. Consideriamo i due membri: il primo lo chiameremo b(y) - che di fatto sarà quello che conterrà la variabile y - e il secondo lo chiameremo a(x), e conterrà la variabile x.
- I due membri altro non sono che funzioni: avranno perciò un insieme di definizione. Troviamo l'insieme di definizione di b(y) come in una normalissima funzione di una variabile: tale dominio prenderà il nome di derivabilità, e l'insieme rispetto al quale è definito sarà chiamato I (i maiuscolo). Facciamo lo stesso con il membro a(x): stavolta il dominio sarà chiamato continuità, e l'insieme rispetto al quale è definito sarà chiamato J
- Abbiamo una condizione iniziale: essa ci viene espressa con la sua coordinata in y. Per far sì che tale condizione si accettabile dobbiamo verificare che la coordinata in y sia interna all'insieme di definizione di b(y) prima stabilito, e che la sua coordinata in x (che porremo come x=0) sia interna all'insieme di definizione di a(x). Se tale condizione è soddisfatta, allora esiste una ed una sola soluzione che risolve il problema.
- Per stabilire se la soluzione verificante il problema sia proprio la condizione iniziale, dobbiamo sostituire tale condizione nella b(y). Se ad esempio tale condizione sarà indicata come y(0)=-1 noi calcoleremo b(-1). Se la b(-1) risulterà = 0, allora la soluzione particolare cercata coinciderà con -1.